【題目】已知:△ABC是等腰三角形,動(dòng)點(diǎn)P在斜邊AB所在的直線(xiàn)上,以PC為直角邊作等腰三角形PCQ,其中∠PCQ=90°,探究并解決下列問(wèn)題:
(1)如圖①,若點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上,且AC=1+,PA=,則:
①線(xiàn)段PB= ,PC= ;
②猜想:PA2,PB2,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為 ;
(2)如圖②,若點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上,在(1)中所猜想的結(jié)論仍然成立,請(qǐng)你利用圖②給出證明過(guò)程;
(3)若動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足,求的值.(提示:請(qǐng)利用備用圖進(jìn)行探求)
【答案】(1)①,2;②;(2)證明見(jiàn)試題解析;(3)或.
【解析】
試題
(1)①由已知條件求出AB的長(zhǎng),再減去PA就可得PB的長(zhǎng);如圖1,連接BQ,先證△APC≌△BQC,可得:BQ=AP=,∠CBQ=∠A=45°,由此可得△PBQ是直角三角形,即可計(jì)算出PQ=,從而根據(jù)△PCQ是等腰直角三角形可得PC=2;
②由①中的證明可知:AP=BQ,△PBQ是直角三角形,由此即可得到:PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2;
(2)如圖2,連接PB,先證△APC≌△BQC,得到BQ=AP,∠CBQ=∠A=45°,由此可得△PBQ是直角三角形,從而可得:PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2,即(1)中所猜想結(jié)論仍然成立;
(3)如圖3,分點(diǎn)P在點(diǎn)A、B之間和在點(diǎn)A、B的同側(cè)兩種情況討論即可;
試題解析:
(1)如圖①:
①∵△ABC是等腰直直角三角形,AC=1+,∠ACB=90°,
∴AB=,
∵PA=,
∴PB=AB-PA=.
∵△ABC和△PCQ均為以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,
∴AC=BC,PC=CQ,∠ACP=∠BCQ,
∴△APC≌△BQC.
∴BQ=AP=,∠CBQ=∠A=45°.
∴△PBQ為直角三角形.
∴PQ=.
∴PC=PQ=2.
故答案為:,2;
②如圖1,猜想PA2+PB2=PQ2,理由如下:
由①中證明可知:△APC≌△BQC,
∴BQ=AP,∠CBQ=∠A=45°,
又∵∠CBA=45°,
∴∠CBQ+∠CBA=∠PCQ=90°,
∴BQ2+PB2=PQ2,
∴PA2+PB2=PQ2.
(2)如圖②:連接BQ,
∵△ABC和△PCQ均為以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,
∴AC=BC,PC=CQ,∠ACP=∠BCQ,
∴△APC≌△BQC.
∴BQ=AP,∠CBQ=∠A=45°.
又∵∠ABC=45°,
∴∠ABC+∠CBQ=∠ABQ=90°,
∴∠PBQ=90°,
∴在Rt△PBQ中,BQ2+PB2=PQ2,
∴PA2+PB2=PQ2.
(3)如圖③:過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D.由△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC可得:AD=BD=CD=AB;設(shè)AB=,則AD=BD=CD=,
①當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A、D之間的點(diǎn)P1處時(shí).
∵,
∴P1A=AB=DC= ,
∴P1D=AD=,
在Rt△CP1D中,由勾股定理得:CP1=,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC= ,
∴;
②當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A和點(diǎn)B的同側(cè)的點(diǎn)P2處時(shí).
∵,
∴P2A=AB=AD=.
∴P2D=P2A+AD=,
在Rt△CP2D中,由勾股定理得:P2C=,
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AC=,
∴;
綜上所述,的比值為或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,BD是△ABC的角平分線(xiàn),DE∥BC,交AB于點(diǎn)E,∠A=50°,∠BDC=75°.求∠BED的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將等腰直角三角板ABC的直角頂點(diǎn)C放在直線(xiàn)l上,從另兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別作l的垂線(xiàn),垂足分別為D、E.
(1)找出圖中的全等三角形,并加以證明;
(2)若DE=a,求直角梯形DABE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形ABCD中,點(diǎn)P沿著邊按B→C→D→A方向運(yùn)動(dòng),開(kāi)始以每秒m個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng)、a秒后變?yōu)槊棵?/span>2個(gè)單位勻速運(yùn)動(dòng),b秒后恢復(fù)原速勻速運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ABP的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
(1)直接寫(xiě)出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬;
(2)求m,a,b的值;
(3)當(dāng)P點(diǎn)在AD邊上時(shí),直接寫(xiě)出S與t的函數(shù)解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某市實(shí)施城中村改造的過(guò)程中,“旺鑫”拆遷工程隊(duì)承包了一項(xiàng)10000 m2的拆遷工程.由于準(zhǔn)備工作充分,實(shí)際拆遷效率比原計(jì)劃提高了25%,提前2天完成了任務(wù),請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
(1)求“旺鑫”拆遷工程隊(duì)現(xiàn)在平均每天拆遷多少平方米;
(2)為了盡量減少拆遷給市民帶來(lái)的不便,在拆遷工作進(jìn)行了2天后,“旺鑫”拆遷工程隊(duì)的領(lǐng)導(dǎo)決定加快拆遷工作,將余下的拆遷任務(wù)在5天內(nèi)完成,那么“旺鑫”拆遷工程隊(duì)平均每天至少再多拆遷多少平方米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,AB=AD,點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′ 恰好落在CD上,若∠BAD=110°,則∠ACB的度數(shù)為( )
A.40°B.35°C.60°D.70°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】李克強(qiáng)總理說(shuō):”一個(gè)國(guó)家養(yǎng)成全民閱讀習(xí)慣非常重要…我希望全民閱讀能夠形成一種氛圍,無(wú)處不在.“為了響應(yīng)國(guó)家的號(hào)召,某”希望“學(xué)校的全體師生掀起了閱讀的熱潮.下面是該校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分布扇形統(tǒng)計(jì)圖與學(xué)生在4月份閱讀課外書(shū)籍人次的統(tǒng)計(jì)圖表,其中七年級(jí)的學(xué)生人數(shù)為240人.請(qǐng)解答下列問(wèn)題:
圖書(shū)種類(lèi) | 頻數(shù) | 頻率 |
科普書(shū)籍 | A | B |
文學(xué) | 1200 | C |
漫畫(huà)叢書(shū) | D | 0.35 |
其他 | 200 | 0.05 |
(1)該校七年級(jí)學(xué)生人數(shù)所在扇形的圓心角為______°,該校的學(xué)生總?cè)藬?shù)為______人;
(2)請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)為了鼓勵(lì)學(xué)生讀書(shū),學(xué)校決定在“五四”青年節(jié)舉行兩場(chǎng)讀書(shū)報(bào)告會(huì).報(bào)告會(huì)的內(nèi)容從“科普書(shū)籍”“文學(xué)”“漫畫(huà)叢書(shū)”“其他”中任選兩個(gè).用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法求兩場(chǎng)報(bào)告會(huì)的內(nèi)容恰好是“科普書(shū)籍”與“漫畫(huà)叢書(shū)”的概率.(“科普書(shū)籍”“文學(xué)”“漫畫(huà)叢書(shū)”“其他”,可以分別用K,W,M,Q來(lái)表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)補(bǔ)充完整:
如圖1,在正方形ABCD中,E、F分別為DC、BC邊上的點(diǎn),且滿(mǎn)足∠EAF=45°,連結(jié)EF,試說(shuō)明DE+BF=EF.
解:將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,此時(shí)AB與AD重合.由旋轉(zhuǎn)可得AB=AD,GB=ED,∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°.
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°.
∴點(diǎn)G、B、F在同一條直線(xiàn)上.
∵∠EAF=45°,
∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°
∵∠1=∠2,
∴∠1+∠3=45°.
∴∠GAF=∠ .
又∵AG=AE,AF=AF.
∴△GAF≌ .
∵ =EF.
∴DE+BF=BG+BF=GF=EF.
(2)類(lèi)比引申:
如圖2,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上,∠EAF=45°,若∠B、∠D都不是直角,則當(dāng)∠B與∠D滿(mǎn)足等量關(guān)系 時(shí),有EF=BE+DF.
(3)聯(lián)想拓展
如圖3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)D、E均在邊BC上,且∠DAE=45°,試猜想BD、DE、EC滿(mǎn)足的等量關(guān)系,并寫(xiě)出推理過(guò)程.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,本市新建一座圓形人工湖,為測(cè)量該湖的半徑,小杰和小麗沿湖邊選取A,B,C三根木柱,使得A,B之間的距離與A,C之間的距離相等,并測(cè)得BC長(zhǎng)為120米,A到BC的距離為4米,請(qǐng)你幫他們求出該湖的半徑.
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