Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2+4x+c與x軸交于點(diǎn)M，與y軸交于點(diǎn)N，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)P，OM＝1，ON＝5．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)A是y軸正半軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線對稱軸上的任意一點(diǎn)，連接AB、AM、BM，且AB⊥AM．

①AO為何值時(shí)，△ABM∽△OMN，請說明理由；

②若Rt△ABM中有一邊的長等于MP時(shí)，請直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）①AO為10時(shí)，△ABM∽△OMN；②A的坐標(biāo)為（0，）或（0， ）或（0， ）．

【解析】

（1）將M、N的坐標(biāo)代入列方程組求出a，c的值即可；

（2）①設(shè)A（0，m），用m的代數(shù)式分別表示AB、AM，然后△ABM∽△OMN列出等式求出m的值；

②分3種情況討論Ⅰ．當(dāng)AB＝MP＝3時(shí)，Ⅱ．當(dāng)AM＝MP＝3時(shí)，Ⅲ．當(dāng)BM＝MP＝3時(shí)，分別求出m的值．

解：（1）∵OM＝1，ON＝5，

∴M（﹣1，0），N（0，5），

將M（﹣1，0），N（0，5）代入y＝ax2+4x+c，

a＝﹣1，c＝5，

拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+4x+5；

（2）①AO為10時(shí)，△ABM∽△OMN．理由如下：

設(shè)A（0，m），則OA＝m，，

∵kAM＝m，AB⊥AM，

∴kAB＝﹣，

∴直線AB表達(dá)式：,

∵拋物線y＝﹣x2+4x+5對稱軸：直線x＝2，

∵△ABM∽△OMN，

∴

化簡，得 m4﹣99m2﹣100＝0，

（m2﹣100）（m2+1）＝0，

∵m2+1≠0，

∴m2﹣100＝0，

∴m＝10或﹣10（舍去）

AO＝10，即AO為10時(shí)，△ABM∽△OMN．

②A的坐標(biāo)為

∵M（﹣1，0），P（2，0），

∴MP＝2﹣（﹣1）＝3

Ⅰ．當(dāng)AB＝MP＝3時(shí)，

解得

Ⅱ．當(dāng)AM＝MP＝3時(shí)，

解得

Ⅲ．當(dāng)BM＝MP＝3時(shí)，

m＝或﹣（舍去），

故求得符合條件的A的坐標(biāo)為