Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點A、C在x軸上，點B坐標為（3，m）（m＞0），線段AB與y軸相交于點D，以P（1，0）為頂點的二次函數圖象經過點B、D．

（1）用m的代數式表示點A、D的坐標；
（2）求這個二次函數關系式；
（3）點Q（x，y）為二次函數圖象上點P至點B之間的一點，連接PQ、BQ，當x為何值時，四邊形ABQP的面積最大？

Answer 1

（1）A（3-m，0），D（0，m-3）；（2）y=x²-2x+1；（3）當x=2時，四邊形ABQP的面積最大為5．  

試題分析：（1）根據點C的坐標求出OC、BC的長度，再根據等腰直角三角形的兩直角邊相等可定的AC=BC，然后求出OA的長度，從而得到點A的坐標，再根據∠OAD=45°求出OD=OA，從而得到點D的坐標；
（2）利用頂點式設出二次函數解析式，然后把點B、D的坐標代入，根據待定系數法求解即可；
（3）根據拋物線解析式設出點Q的坐標，然后過點Q作QM⊥AC于點M，再根據S_{四邊形ABQP}=S_△ABC-S_△PQM-S_梯形BCMQ，然后根據三角形的面積公式以及梯形的面積公式列式整理，再根據二次函數的最值問題求解即可．
（1）由B（3，m）可知OC=3，BC=m，
又∵△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=BC=m，OA=m-3，
∴點A的坐標是（3-m，0），
∵∠ODA=∠OAD=45°，
∴OD=OA=m-3，
則點D的坐標是（0，m-3）；
（2）又拋物線頂點為P（1，0），且過點B、D，
所以可設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²，
將D，B坐標代入：a（3-1）²=m，a（0-1）²=m-3，
得：a=1，m=4，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+1，
B坐標（3，4），A（-1，0）；
（3）如圖，過點Q作QM⊥AC于點M，

設點Q的坐標是（x，x²-2x+1），
則PM=（x-1），QM=x²-2x+1，MC=（3-x），
∴S_{四邊形ABQP}=S_△ABC-S_△PQM-S_梯形BCMQ

=-x²+4x+1
=-（x-2）²+5，
所以當x=2時，四邊形ABQP的面積最大為5．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，點的坐標，等腰直角三角形的性質，待定系數法求函數解析式，二次函數的最值問題，以及三角形的面積，梯形的面積公式，難點在于用字母表示數，以及利用“割補法”求不規(guī)則圖形的面積，需熟練掌握．