Question

【題目】如圖①，在四邊形ABCD中，∠A＝x°，∠C＝y°（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）.

（1）∠ABC＋∠ADC＝ °．（用含x，y的代數(shù)式表示）

（2）如圖1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請寫出DE與BF的位置關(guān)系，并說明理由．

（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構(gòu)成的銳角，

①當x＜y時，若x+y=140°，∠DFB=30°，試求x、y．

②小明在作圖時，發(fā)現(xiàn)∠DFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時，∠DFB不存在．

Answer 1

【答案】（1）360°-x-y；（2）DE⊥BF；（3）①x＝40°，y＝100°；②x=y.

【解析】

（1）利用四邊形內(nèi)角和定理得出答案即可；

（2）利用角平分線的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出即可；

（3）①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，得出∠DFB=y-x=30°，進而得出x，y的值；

②當x=y時，∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時∠DFB不存在．

（1）∠ABC+∠ADC=360°-x-y；

故答案為：360°-x-y；

（2）如圖1，延長DE交BF于G

∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，

∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，

又∵∠CBM=180°-∠ABC=180°-（180°-∠ADC）=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

又∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF（即DE⊥BF）；

（3）①由（1）得：∠CDN+∠CBM=x+y，

∵BF、DF分別平分∠CBM、∠CDN，

∴∠CDF+∠CBF=（x+y），

如圖2，連接DB，則∠CBD+∠CDB=180°-y，

得∠FBD+∠FDB=180°-y+（x+y）=180°-y+x，

∴∠DFB=y-x=30°，

解方程組：，

解得：；

②當x=y時，∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時∠DFB不存在．