Question

在平面直角坐標(biāo)系x、y中，過原點(diǎn)O及點(diǎn)A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分線交AB于點(diǎn)D．點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線OD方向移動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng)．設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，求出此時(shí)t的值；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PQB為直角三角形；

（3）已知過O、P、Q三點(diǎn)的拋物線解析式為（t＞0）．問是否存在某一時(shí)刻t，將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在上述拋物線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）2（2）當(dāng)t=2或或時(shí)，△PQB為直角三角形（3）存在t=或t=2，將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在上述拋物線上

【解析】解：（1）∵四邊形OABC是矩形，∴∠AOC=∠OAB=90°。

∵OD平分∠AOC，∴∠AOD=∠DOQ=45°。

∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°。∴AO=AD=2，OD=2。

∵點(diǎn)P的速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，∴t=（秒）。

（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，

如圖，作PG⊥OC于點(diǎn)G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°。

∵OP=t，∴OG=PG=t�！帱c(diǎn)P（t，t）。

又∵Q（2t，0），B（6，2），

根據(jù)勾股定理可得：

。

①若∠PQB=90°，則有PQ²+BQ²=PB²，即： ，

整理得：4t²﹣8t=0，解得：t₁=0（舍去），t₂=2，∴t=2。

②若∠PBQ=90°，則有PB²+QB²=PQ²，即： ，

整理得：t²﹣10t+20=0，解得：。

∴當(dāng)t=2或或時(shí)，△PQB為直角三角形。

（3）存在這樣的t值。理由如下：

將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在拋物線上，則旋轉(zhuǎn)中心為PQ中點(diǎn)，此時(shí)四邊形PBQB′為平行四邊形。

∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋轉(zhuǎn)中心坐標(biāo)可表示為（t， t）。

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，2），∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（3t﹣6，t﹣2）。

代入，得：2t²﹣13t+18=0，解得：t₁=，t₂=2。

∴存在t=或t=2，將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在上述拋物線上。

（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)求出DO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出t的值。

（2）要使△PQB為直角三角形，顯然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，進(jìn)而利用勾股定理分別分析得出，再分別就∠PQB=90°和∠PBQ=90°討論，求出符合題意的t值即可。

（3）存在這樣的t值，若將△PQB繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，三個(gè)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)恰好都落在拋物線上，則旋轉(zhuǎn)中心為PQ中點(diǎn)，此時(shí)四邊形PBQB′為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和對(duì)稱性可求出t的值。