Question

如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=3，BC=4．把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在E處，BE交AD于點F；
（1）求證：AF=EF；
（2）求tan∠ABF的值；
（3）連接AC交BE于點G，求AG的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖形折疊的性質得出ED=DC，BE=BC，根據全等三角形的判定定理得出△AFB≌△EFD，由全等三角形的性質即可得出結論；
（2）設AF=x，由AB=3，BC=BE=4，AF=EF可知BF=4-x，在Rt△ABF中根據勾股定理可求出x的值，根據tan∠ABF即可得出結論；
（3）由于四邊形ABCD是矩形，所以∠BAD=90°，AD∥BC，再根據勾股定理求出AC的長，由相似三角形的判定定理得出△AGF∽△CGB，所以=，設AG=m，則CG=5-m代入比例式即可得出m的值，進而得出結論．
解答：（1）證明：∵△EBD是由△CBD折疊而得，
∴ED=DC，BE=BC，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠BAD=∠BED=90°，
∴ED=AB，
∴∠ABF=∠EDF，
∵在△AFB與△EFD中，
，
∴△AFB≌△EFD（ASA），
∴AF=EF；                        

（2）解：設AF=x，
∵AB=3，BC=BE=4，AF=EF
∴BF=4-x，
∵∠BAF=90°
∴AF²+AB²=BF²，
∴x²+3²=（4-x）²，
∴x=，
∴tan∠ABF===；

（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD∥BC；
∴AC===5，
∴△AGF∽△CGB，
∴=，
設AG=m，則CG=5-m，
∴=，
解得m=，即AG=．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到全等三角形的判定與性質、矩形的性質及勾股定理，熟知以上知識是解答此題的關鍵．