Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點m在x軸的正半軸上，⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸于C，D兩點，且C為弧AE的中點，AE交y軸于G點，若點A的坐標為（﹣2，0），AE=8，

（1）求證：AE=CD；

（2）求點C坐標和⊙M直徑AB的長；

（3）求OG的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（0，4），10（3）

【解析】

試題分析：（1）要證明AE=CD，即證明，由點C是的中點和AB⊥CD可知，，從而可得；

（2）由垂徑定理可知：OC=CD=AE=4，所以點C的坐標為（0，4），連接AC和BC后，證明△CAO∽△BAC，可得CA2=AOAB，從而可求出AB的長度；

（3）由可知，AG=CG，設AG=x，則OG=4﹣x，利用勾股定理可列出方程即可求出x的值．

試題解析：（1）∵點C是的中點，

∴，

∵AB⊥CD，

∴由垂徑定理可知：，

∴，

∴，

∴AE=CD；

（2）連接AC、BC，

由（1）可知：CD=AE=8，

∴由垂徑定理可知：OC=CD=4，

∴C的坐標為（0，4），

由勾股定理可求得：CA2=22+42=20，

∵AB是⊙M的直徑，

∴∠ACB=90°，

∵∠CAB=∠CAB，

∴△CAO∽△BAC，

∴，

∴CA2=AOAB，

∴AB==10；

（3）由（1）可知：，

∴∠ACD=∠CAE，

∴AG=CG，

設AG=x，

∴CG=x，OG=OC﹣CG=4﹣x，

∴由勾股定理可求得：AO2+OG2=AG2，

∴22+（4﹣x）2=x2，

∴x=，

∴OG=4﹣x=