Question

已知點A是雙曲線y=

3

x

在第一象限的一動點，連接AO，過點O做OA⊥OB，且OB=2OA，點B在第四象限，隨著點A的運動，點B的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運動，則這個函數(shù)的解析式為

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：作AC⊥y軸于C，BD⊥y軸于D，如圖，先證明Rt△AOC∽Rt△OBD，利用相似比得到AC=2OD，OC=2BD，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，可設(shè)A（a，

3

a

）（a＞0），則OD=

1

2

a，BD=

3

2a

，所以B點坐標(biāo)為（

3

2a

，-

1

2

a），由于

3

2a

•（-

1

2

a）=-

3

4

，則可判斷點B在反比例函數(shù)y=-

3

4x

的圖象上．

解答：解：作AC⊥y軸于C，BD⊥y軸于D，如圖，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
而∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴Rt△AOC∽Rt△OBD，
∴

AC

OD

=

OC

BD

=

OA

BO

=

2OB

OB

=2，
∴AC=2OD，OC=2BD，
∵點A是雙曲線y=

3

x

在第一象限的點，
∴設(shè)A（a，

3

a

）（a＞0），
∴OD=

1

2

a，BD=

1

2

•

3

a

=

3

2a

，
∴B點坐標(biāo)為（

3

2a

，-

1

2

a），
而

3

2a

•（-

1

2

a）=-

3

4

，
∴點B在反比例函數(shù)y=-

3

4x

的圖象上．
故答案為y=-

3

4x

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)y=xk（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，即xy=k．