Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，過(guò)E作EF⊥AD于F．

（1）求證：四邊形ABEF是正方形；

（2）連接BF交AE于點(diǎn)O，連接DO，若CD=2，CE=1，求OD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）OD的長(zhǎng)為．

【解析】

（1）先根據(jù)矩形的判定可得出四邊形ABEF是矩形，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)正方形的判定即可得證；

（2）如圖（見解析），過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G，先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出點(diǎn)O為AE的中點(diǎn)，再根據(jù)中位線定理可得的長(zhǎng)，從而可得DG的長(zhǎng)，然后利用勾股定理求解即可．

（1）四邊形ABCD是矩形

四邊形ABEF是矩形

又平分

（角平分線的性質(zhì)）

矩形ABEF是正方形

即四邊形ABEF是正方形；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G，則

同（1）可得：四邊形CDFE是矩形

由（1）可知，四邊形ABEF是正方形

，點(diǎn)O是對(duì)角線AE的中點(diǎn)

OG是的中位線

，點(diǎn)G是AF的中點(diǎn)

在中，

故OD的長(zhǎng)為．