Question

【題目】如圖，在ABC中，CA=CB=10，AB=12，以BC為直徑的圓⊙O交AC于點G，交AB于點D，過點D作⊙O的切線，交CB的延長線于點E，交AC于點F．則下列結論正確的是_____

①DF⊥AC； ②DO=DB； ③S△ABC=48； ④cos∠E=．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

連接OD，BG，CD，如圖，利用切線的性質得到OD⊥DF，再利用圓周角定理和等腰三角形的性質證明OD∥AC，則可對①進行判斷；利用OB＝BC＝5，BD＝6可對②進行判斷；利用勾股定理計算出CD＝8，則可計算出ABC的面積，從而可對③進行判斷；利用面積法計算出BG＝，則cos∠CBG＝，然后證明∠E＝∠CBG，從而可對④進行判斷．

解：連接OD，BG，CD，如圖，

∵DF為切線，

∴OD⊥DF，

∵BC為直徑，

∴∠BDC＝90°，

∵CA＝CB，

∴CD平分AB，即AD＝BD＝6，

而OB＝OC，

∴OD為ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∴DF⊥AC，所以①正確；

∵OB＝BC＝5，BD＝6，

∴OD≠BD，所以②錯誤；

在RtBCD中，CD＝＝8，

∴S△ABC＝CDAB＝×8×12＝48，所以③正確；

∵BC為直徑，

∴∠BGC＝90°，

∴S△ABC＝BGAC＝48，

∴BG＝，

∴cos∠CBG＝＝＝，

∵BG⊥AC，EF⊥AC，

∴BG∥EF，

∴∠E＝∠CBG，

∴cos∠E＝，所以④正確．

故答案為：①③④．