Question

7．如圖點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓的圓周上，若AB=4，∠ABC=30°，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E和D關(guān)于A(yíng)C對(duì)稱(chēng)，當(dāng)D與A重合時(shí)，F(xiàn)為EC的延長(zhǎng)線(xiàn)上滿(mǎn)足CF=EC的點(diǎn)，當(dāng)D與A不重合時(shí)，F(xiàn)為EC的延長(zhǎng)線(xiàn)與過(guò)D且垂直于DE的直線(xiàn)的交點(diǎn)，
（1）當(dāng)D與A不重合時(shí)，CF=EC的結(jié)論是否成立？試證明你的判斷．
（2）設(shè)AD=x，EF=y 求y關(guān)于x的函數(shù)及其定義域；
（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上時(shí)，求出此時(shí)AD的值；如不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)D從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，線(xiàn)段EF掃過(guò)的面積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)DE交AC于M，DF交BC于N．由軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)可知EM=DM，ED⊥AC，然后可證明AC∥DF，由平行線(xiàn)分線(xiàn)成比例定理可知$\frac{CE}{CF}=\frac{EM}{MD}=1$；
（2）①當(dāng)D與A不重合時(shí)．先證明四邊形CNDM是矩形，從而得到MD∥BC，由平行線(xiàn)的性質(zhì)可知∠ADM=∠ABC=30°，由特殊銳角三角函數(shù)可知ED=$\sqrt{3}x$，DN=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{2}×$（4-x）=2-$\frac{1}{2}x$，然后由平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理可知DN=NF，從而得到DF=2DN=4-x，最后在Rt△EFD中，由勾股定理可求得y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)D與A重合時(shí)，y=2AC=4；
（3）①當(dāng)點(diǎn)E在弧AC上時(shí)．由題意可知∠CAD=60°，由點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于A(yíng)C對(duì)稱(chēng)可知：∠EAD=120°，故此點(diǎn)E不在弧AC上，故當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合是，點(diǎn)E也與點(diǎn)A重合時(shí)，成立；②當(dāng)點(diǎn)F在$\widehat{BC}$上時(shí)，如圖3所示，連接BF、AF．由題意可知∠FDB=60°，由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，故此DF=DB，從而可證明△DFB為等邊三角形，于是得到DB=DF，然后再證明AD=DF，從而可知點(diǎn)D與點(diǎn)O重合，于是得到AD=$\frac{1}{2}AB$=2；
（4）由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，故此點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的軌跡為一條線(xiàn)段，由（3）可知∠FBD=60°，故此點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡也是一條線(xiàn)段，然后畫(huà)出圖形，最后利用三角形的面積公式即可求得答案．

解答 解：（1）成立．
如圖1所示：設(shè)DE交AC于M，DF交BC于N．

∵點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于A(yíng)C對(duì)稱(chēng)，
∴EM=DM，ED⊥AC．
又∵DE⊥DF，
∴AC∥DF．
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{EM}{MD}=1$．
∴CE=CF．
（2）①當(dāng)D與A不重合時(shí)．
∵∠CMD=∠MDN=∠MCN=90°，
∴四邊形CNDM是矩形．
∴MD∥BC．
∴∠ADM=∠ABC=30°．
∵在Rt△AMD中，∠ADM=30°，
∴MD=$\frac{\sqrt{3}}{2}AD$=$\frac{\sqrt{3}}{2}x$．
∴ED=$\sqrt{3}x$．
在Rt△BDN中，∠DBN=30°，
∴DN=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{1}{2}×$（4-x）=2-$\frac{1}{2}x$．
∵M(jìn)D∥BC，
∴$\frac{CF}{CE}=\frac{FN}{DN}=1$．
∴DN=NF．
∴DF=2DN=4-x．
在Rt△EDF中，由勾股定理可知EF=y=$\sqrt{E{D}^{2}+D{F}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{3}x）^{2}+（4-x）^{2}}$=2$\sqrt{{x}^{2}-2x+4}$（0＜x≤4）；
②當(dāng)D與A重合時(shí)，如圖2所示；

∵CF=EF，
∴y=2AC=4．
（3）①當(dāng)點(diǎn)E在弧AC上時(shí)．
∵∠CAD=60°，點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于A(yíng)C對(duì)稱(chēng)，
∴∠EAD=∠DAM=60°．
∴∠EAD=120°．
∵當(dāng)點(diǎn)E在弧AC上時(shí)，∠EAD≤90°，
∴此種情況不成立．
故當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合是，點(diǎn)E也與點(diǎn)A重合時(shí)，成立．
∴AD=0．
②當(dāng)點(diǎn)F在$\widehat{BC}$上時(shí)，如圖3所示，連接BF、AF．

∵∠DBN=30°，∠BND=90°，
∴∠FDB=60°．
∵由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，
∴DF=DB．
∴△DFB為等邊三角形．
∴∠DBF=60°，∠DFB=60°．
∴∠AFD=30°．
∵AB是圓O的直徑，
∴∠AFB=90°．
∵∠CFA=∠CBA=30°，
∴∠CFB=120°．
∴∠CFB+∠FBD=180°．
∴∠CF∥DB．
∴∠FAD=∠CFA=30°．
∴∠FAD=∠AFD=30°．
∴AD=DF=DB．
∴點(diǎn)D與點(diǎn)O重合．
∴AD=$\frac{1}{2}AB$=2．
綜上所述，AD=0或AD=2．
（4）如圖4所示；E、F的初始位置為E₁、F₁，E₁與A點(diǎn)重合，E、F的終止位置為E₂、F₂，F(xiàn)₂與B點(diǎn)重合．

∵由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，
∴點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的軌跡為線(xiàn)段AE₁．
∵由（3）可知∠FBD=60°，
∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的軌跡為線(xiàn)段BF₂．
∴陰影部分的面積即為所求，S=2×$\frac{1}{2}$×AC•BC=2×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=4$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理、等邊三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)∠EAD和∠FBD為固定值，判斷點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的軌跡都是一條線(xiàn)段是解題的關(guān)鍵．