Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y＝x﹣2交于B，C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；

（2）求△ABC的內(nèi)切圓半徑；

（3）若點(diǎn)N為x軸上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；（2）2﹣；（3）存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

【解析】

（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得B,C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）先求出AB，BC，AC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形，從而即可求出內(nèi)切圓的半徑；

（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長度，當(dāng)△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質(zhì)可得或，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

∴設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+1，

又∵拋物線過原點(diǎn)，

∴0＝a（0﹣1）2+1，解得a＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+1，

即y＝﹣x2+2x，

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，

解得或，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）由（1）知，B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

∵A（1，1），

∴AB2+BC2＝AC2，

∴△ABC是直角三角形．

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，

∴r＝＝；

（3）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），

∴ON＝|x|，MN＝|﹣x2+2x|，

由（2）知，AB＝，BC＝3，

∵MN⊥x軸于點(diǎn)N，

∴∠ABC＝∠MNO＝90°，

∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時，有或，

①當(dāng)時，

∴，即|x||﹣x+2|＝|x|，

∵當(dāng)x＝0時M、O、N不能構(gòu)成三角形，

∴x≠0，

∴|﹣x+2|＝，

∴﹣x+2＝±，解得x＝或x＝，

此時N點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）或（，0）；

②當(dāng)時，

∴，

即|x||﹣x+2|＝3|x|，

∴|﹣x+2|＝3，

∴﹣x+2＝±3，

解得x＝5或x＝﹣1，

此時N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0），

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（，0）或（，0）或（﹣1，0）或（5，0）．