Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的頂點D是AB的中點，且∠EDF＝45°，現(xiàn)將∠EDF繞點D旋轉一周，在旋轉過程中，當∠EDF的兩邊DE、DF分別交直線AC于點G、H，把△DGH沿DH折疊，點G落在點M處，連接AM，若＝，則AH的長為_______．

Answer 1

【答案】或或3

【解析】

分三種情形：①如圖1中，當點H在線段AC上，點G在AC的延長線上時，連接CD，作DJ⊥AC于J，設AH＝3k，AM＝4k．②如圖2中，當點H在線段AC上，點G在上時，連接CD，作DJ⊥AC于J，設AH＝3k，AM＝4k．③如圖3中，當點H在線段CA的延長線上，點G在線段AC上時，連接CD，作DJ⊥AC于J，設AH＝3k，AM＝4k．首先證明AM⊥AC，利用相似三角形的性質以及勾股定理構建方程解決問題即可．

解：①如圖1中，當點H在線段AC上，點G在AC的延長線上時，連接CD，作DJ⊥AC于J，設AH＝3k，AM＝4k．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，

∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，

∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，

∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，

∴∠ADC＝∠MDG，

∴∠ADM＝∠CDG，

∴△ADM≌△CDG（SAS），

∴∠DAM＝∠DCG＝135°，

∵∠CAB＝45°，

∴∠CAM＝90°，

∴MH＝GH＝＝＝5k，

∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，

∴△DGH∽△AGD，

∴＝，

∴DG2＝GHGA＝40k2，

∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，

∴AB＝AC＝12，

∴AD＝CD＝6，

∵DJ⊥AC，

∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3，

∴GJ＝8K﹣3，

在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2，

∴40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，

解得k＝或（舍棄），

∴AH＝3k＝．

②如圖2中，當點H在線段AC上，點G在上時，連接CD，作DJ⊥AC于J，設AH＝3k，AM＝4k．

同法可得：40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，

解得k＝（舍棄）或，

∴AH＝3k＝．

③如圖3中，當點H在線段CA的延長線上，點G在線段AC上時，連接CD，作DJ⊥AC于J，設AH＝3k，AM＝4k．

同法可得：10k2＝（3﹣2k）2+（3）2，

解得k＝或﹣3（舍棄），

∴AH＝3k＝3，

綜上所述，滿足條件的AH的值為或或3．

故答案為或或3．