Question

【題目】（背景知識）

數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合．研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)有許多重要的規(guī)律:

例如，若數(shù)軸上點、點表示的數(shù)分別為、，則、兩點之間的距離，線段的中點表示的數(shù)為．

（問題情境）

在數(shù)軸上，點表示的數(shù)為-20，點表示的數(shù)為10，動點從點出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動，同時，動點也從點出發(fā)沿數(shù)軸負方向運動，已知運動到4秒鐘時，、兩點相遇，且動點、運動的速度之比是（速度單位:單位長度/秒）．

備用圖

（綜合運用）

（1）點的運動速度為______單位長度/秒，點的運動速度為______單位長度/秒；

（2）當(dāng)時，求運動時間；

（3）若點、在相遇后繼續(xù)以原來的速度在數(shù)軸上運動，但運動的方向不限，我們發(fā)現(xiàn):隨著動點、的運動，線段的中點也隨著運動．問點能否與原點重合？若能，求出從、相遇起經(jīng)過的運動時間，并直接寫出點的運動方向和運動速度；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）動點P運動的速度為4.5單位長度/秒，動點Q運動的速度為3單位長度/秒；（2）運動時間為或秒；（3）點M能與原點重合，它沿數(shù)軸正方向運動，運動速度為或沿數(shù)軸正方向運動，運動速度為，理由見解析

【解析】

（1）設(shè)動點P運動的速度分別為3x單位長度/秒，Q運動的速度分別為2x單位長度/秒．根據(jù)“運動到4秒鐘時，P、Q兩點相遇”列方程，求解即可；

（2）設(shè)運動時間為t秒．點P表示的數(shù)為－20＋4.5t，點Q表示的數(shù)為10－3t，根據(jù)“PQ=AB”，列方程，求解即可；

（3）先求出P、Q相遇點表示的數(shù)，設(shè)從P、Q相遇起經(jīng)過的運動時間為t秒時，PQ的中點M與原點重合，求出P、Q此時表示的數(shù)．然后分四種情況列方程，求解即可．

（1）設(shè)動點P運動的速度分別為3x單位長度/秒，Q運動的速度分別為2x單位長度/秒．根據(jù)題意得：

4×3x＋4×2x=30，（或－20＋4×3x=10－4×2x）

解得：x=1.5．

3x=4.5（單位長度/秒），2x=3（單位長度/秒）．

答：動點P運動的速度為4.5單位長度/秒，動點Q運動的速度為3單位長度/秒．

（2）設(shè)運動時間為t秒．

由題意知：點P表示的數(shù)為－20＋4.5t，點Q表示的數(shù)為10－3t，根據(jù)題意得：

|（－20＋4.5t）－（10－3t）|=×|（－20）－10|

整理得：|7.5t－30|=10

7．5t－30=10或7.5t－30=－10

解得：t=或t=．

答：運動時間為或秒．

（3）P、Q相遇點表示的數(shù)為－20＋4×4.5=－2（注：當(dāng)P、Q兩點重合時，線段PQ的中點M也與P、Q兩點重合）

設(shè)從P、Q相遇起經(jīng)過的運動時間為t秒時，點M與原點重合．

①點P、Q均沿數(shù)軸正方向運動，則：

解得：t=．

此時點M能與原點重合，它沿數(shù)軸正方向運動，運動速度為2÷（單位長度/秒）；

②點P沿數(shù)軸正方向運動，點Q沿數(shù)軸負方向運動，則：

解得：t=．

此時點M能與原點重合，它沿數(shù)軸正方向運動，運動速度為2÷=（單位長度/秒）；

③點P沿數(shù)軸負方向運動，點Q沿數(shù)軸正方向運動，則：

解得：t=－（舍去）．

此時點M不能與原點重合；

④點P沿數(shù)軸負方向運動，點Q沿數(shù)軸負方向運動，則：

解得：t=－（舍去）．

此時點M不能與原點重合．

綜上所述：點M能與原點重合，它沿數(shù)軸正方向運動，運動速度為或沿數(shù)軸正方向運動，運動速度為．