Question

【題目】如圖，拋物線交軸于點(diǎn)和點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)，連接、、．

（1）求這個拋物線的表達(dá)式．

（2）當(dāng)四邊形面積等于4時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）①點(diǎn)在平面內(nèi)，當(dāng)是以為斜邊的等腰直角三角形時，直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)；

②在①的條件下，點(diǎn)在拋物線對稱軸上，當(dāng)時，直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）①，；②，（-1，5）．

【解析】

（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x＋3）（x1）＝a（x2＋2x3）＝ax2＋2ax3a，即3a＝2，解得：a＝，即可求解；

（2）設(shè)點(diǎn)P(x，)，根據(jù)S＝S四邊形ADCP＝S△APO＋S△CPOS△ODC=4列出方程即可求解；

(3)①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形即可求出M的坐標(biāo)；

②根據(jù)題意作圖，根據(jù)①所求的M點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)合圓周角的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)即可確定N點(diǎn)坐標(biāo)．

（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x＋3）（x1）＝a（x2＋2x3）＝ax2＋2ax3a，

∴3a＝2，解得：a＝，

故拋物線的表達(dá)式為：；

（2）令x=0，得y=2

∴點(diǎn)C（0，2），

函數(shù)的對稱軸為：x＝- =-1；

連接OP，設(shè)點(diǎn)P(x，)，

則S＝S四邊形ADCP＝S△APO＋S△CPOS△ODC

＝×AO×yp＋×OC×|xP|×CO×OD

＝×3×()＋×2×(x) ×2×1

＝x23x＋2，

∵四邊形面積等于4，

∴x23x＋2=4

解得x1=-1,x2=-2，

∴P或；

(3) ①如圖，∵△CDM1是以CM1為斜邊的等腰直角三角形，

∴CD=DM1，∠CDM=90°，

∴∠QDM1+∠CDO=90°

作M1Q⊥AB于Q點(diǎn)，

∴∠QDM1+∠QM1D=90°

∴∠CDO=∠QM1D

又∠DQM1=∠COD=90°

∴△DQM1≌△COD

QD=CO=2,M1Q=DO=1

∴OD=3, M1Q=1

∴M1（-3，1）

由圖形及等腰直角三角形的性質(zhì)可知M1、M2關(guān)于D點(diǎn)對稱，

設(shè)M2（p，q）

∴，

解得p=1，q=-1

∴M2（1，-1）

綜上M的坐標(biāo)為，；

②如圖，∵=90°，當(dāng)=可知N點(diǎn)為對稱軸直線x=-1與以圓D為圓心，DM2為半徑的圓的交點(diǎn)，即N1,N2

∵r=DM2=

∴N1(-1，-)，N2（1，）；

如圖，當(dāng)時，

由①可得,，

∴，CD=DM1=DM2,

∴CM1=CM2,

則△是等腰直角三角形，

則

∴△是等腰直角三角形，

則N3,M2關(guān)于C點(diǎn)對稱，

設(shè)N3（x,y）

則，

解得x=-1，y=5

∴N3（-1,5）

綜上，N點(diǎn)坐標(biāo)為：，（-1，5）．