Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+1與直線y=﹣ax+c相交于坐標(biāo)軸上點A（﹣3，0），C（0，1）兩點．

（1）直線的表達式為；拋物線的表達式為 ．
（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點，作DE垂直x軸于點E，交直線AC于點F，求線段DF長度的最大值，并求此時點D的坐標(biāo)；
（3）P為拋物線上一動點，且P在第四象限內(nèi)，過點P作PN垂直x軸于點N，使得以P、A、N為頂點的三角形與△ACO相似，請直接寫出點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）y= x+1；y=﹣ x2﹣ x+1
（2）

解：∵點D在拋物線在第二象限部分上的一點，

∴可設(shè)D（t，﹣ t2﹣ t+1），則F（t， t+1），

∴DF=﹣ t2﹣ t+1﹣（ t+1）=﹣ t2﹣t=﹣ （t+ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴當(dāng)t=﹣ 時，DF有最大值，最大值為 ，此時D點坐標(biāo)為（﹣ ， ）

（3）

解：設(shè)P（m，﹣ m2﹣ m+1），如圖2，

∵P在第四象限，

∴m＞0，﹣ m2﹣ m+1＜0，

∴AN=m+3，PN= m2+ m﹣1，

∵∠AOC=∠ANP=90°，

∴當(dāng)以P、A、N為頂點的三角形與△ACO相似時有△AOC∽△PNA和△AOC∽△ANP，

①當(dāng)△AOC∽△PNA時，則有 = ，即 = ，

解得m=﹣3或m=10，經(jīng)檢驗當(dāng)m=﹣3時，m+3=0，

∴m=10，此時P點坐標(biāo)為（10，﹣39）；

②當(dāng)△AOC∽△ANP時，則有 = ，即 = ，

解得m=2或m=﹣3，經(jīng)檢驗當(dāng)m=﹣3時，m+3=0，

∴m=2，此時P點坐標(biāo)為（3，﹣ ）；

綜上可知P點坐標(biāo)為（10，﹣39）或（3，﹣ ）

【解析】解：（1）把A、C兩點坐標(biāo)代入直線y=﹣ax+c可得 ，解得 ，
∴直線的表達式為y= x+1，
把A點坐標(biāo)和a=﹣ 代入拋物線解析式可得9×（﹣ ）﹣3b+1=0，解得b=﹣ ，
∴拋物線的表達式為y=﹣ x2﹣ x+1，
所以答案是：y= x+1；y=﹣ x2﹣ x+1；