Question

（1）如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是底BC的中點(diǎn)，EF∥CD交BD于F，EG∥AB交AC于G，求證：EF+EG=AB；
（2）如圖，若E為BC上任一點(diǎn)（中點(diǎn)除外）其他條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EG∥AB，則EG是△ABC的中位線，同理EF也是中位線，根據(jù)中位線定理，就可以證出結(jié)論．
（2）中若E不是中點(diǎn)，就可以根據(jù)三角形相似證明．

解答：解：（1）∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位線．
∴EG=

1

2

AB，同理EF=

1

2

CD．
∴EF+EG=

1

2

AB+

1

2

CD．
又∵AB=CD，
∴EF+EG=AB．

（2）∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD．
∴

EF

CD

=

BE

BC

．
同理

EG

AB

=

CE

BC

．
兩式相加得到

EG

AB

+

EF

CD

=

CE

BC

+

BE

BC

=1，
又∵AB=CD，
∴EF+EG=AB．

點(diǎn)評(píng)：本題在利用三角形中位線定理，解決第一問的基礎(chǔ)上，利用三角形的相似解決第二問，善于發(fā)現(xiàn)兩個(gè)題目的聯(lián)系是解決本題的關(guān)鍵．