Question

某健身產品的企業(yè)第一批產品A上市銷售40天內全部售完，該公司對第一批產品A上市后的國內、外市場銷售情況進行調研，結果如圖（1），（2）所示．
（1）分別寫出國內、國外市場的日銷售量y₁，y₂（萬件）與第一批產品A上市時間t的函數關系式；
（2）如果每件產品A的銷售利潤為60元，寫出第一批產品A上市后日總銷售利益W（萬元）與上市時間t的函數關系式；
（3）問在第幾天日銷售，利潤最大？

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出一次函數解析式，再利用頂點式求出二次函數解析式；
（2）根據單件利潤乘以總件數等于總利潤即可表示出；
（3）利用一次函數的增減性以及二次函數最值求法得出即可．

解答：解：（1）由圖象可知：
y₁=kt，經過（30，60）代入求出即可；
y₁=2t，（0≤t≤30），
y₁=kt+b，經過（30，60），（40，0）代入求出即可；

30k+b=60 40k+b=0

，
解得：k=-6，b=240，
y₁=-6t+240，（30≤t≤40）；
將頂點（20，60）代入二次函數可得：
y₂=a（t-20）²+60，
將（0，0）代入上式得：
a=-

3

20

，
∴y₂=-

3

20

（t-20）²+60；

（2）∵每件產品A的銷售利潤為60元，
∴第一批產品A上市后日總銷售利益W（萬元）與上市時間t的函數關系式分別為：
W=60×2t+60×[-

3

20

×（t-20）²+60]=-9t²+480t（0≤t≤30）；
W=-360t+14400+（-9t²+360t）=-9t²+14400（30≤t≤40）

（3）當W=-9t²+480t（0≤t≤30），
∵a=-9＜0，對稱軸為直線t=

80

3

≈27，
∴此時W有最大值6399萬元，
當W=-9t²+14400（30≤t≤40），
∵a=-9＜0，
∴t=30時，W有最大值=-9×30²+14400=6300萬元．
所以第27天日銷售利潤最大為6399萬元．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式以及頂點式求二次函數解析式以及函數最值問題等知識，利用函數增減性求出最值是解決問題的關鍵．