Question

如圖，直線l：y=

1

3

x+

1

4

經過點M，一組拋物線的頂點B₁（1，y），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…，B_n（n，y_n）（n為正整數）依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0）（n為正整數），設x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求經過點A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式（用含d的代數式表示）；
（2）若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”，那么當d的大小在0＜d＜1范圍內變化時，這組拋物線中是否存在美麗拋物線？若存在，請求出相應的d的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）把B₁（1，y₁）代入一次函數式，可求出y₁=

7

12

，根據圖象可知，經過A₁、B₁、A₂的二次函數的頂點就是B₁，故其對稱軸就是x=1，那么可設函數解析式為：y=a（x-1）²+

7

12

再把A₁的坐標代入函數式，可求出a的值，那么就可得到二次函數的解析式；
（2）根據拋物線的對稱性，可知所得直角三角形必是等腰直角三角形，斜邊上的高等于斜邊的一半，先求出A₁、A₂、B₁、B₂…的坐標，若B₁為直角頂點，則A₁A₂的中點（1，0）到B₁的距離與到A₁和A₂的距離相等，求出d的值；同理：若B₂為直角頂點，求出d的值；若B₃為直角頂點，求出的d值是負數（舍去）；總結上述結果即可得出答案．

解答：解：（1）由題意得：y=

1

3

x+

1

4

，
∵B₁（1，y₁）在直線l上，
∴當x=1時，y₁=

1

3

×1+

1

4

=

7

12

，
故可得B₁的坐標為（1，

7

12

），
設拋物線表達式為：y=a（x-1）²+

7

12

（a≠0），
又∵x₁=d，
∴A₁的坐標為（d，0），
∴0=a（d-1）²+

7

12

，
∴a=-

7

12(d-1)2

，
∴經過點A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式為：y=-

7

12(d-1)2

（x-1）²+

7

12

．
（2）存在美麗拋物線．
由（1）可得B₁（1，

7

12

），B₂（2，

11

12

），
∵A₁（d，0），
∴A₂（2-d，0），
①若B₁為直角頂點，則A₁A₂的中點（1，0）到B₁的距離與到A₁和A₂的距離相等，
即：1-d=

7

12

，
解得：d=

5

12

；
②若B₂為直角頂點，則A₂A₃的中點（2，0）到B₂的距離與到A₃和A₂的距離相等，
即：2-（2-d）=

11

12

，
解得：d=

11

12

；
③若B₃為直角頂點，求出的d為負數，并且從B₃之后的B點，求出的d都為負數；
綜上可得存在d，d的值為

5

12

或

11

12

．

點評：本題屬于二次函數綜合題，涉及了二次函數圖象上點的坐標特征，直角三角形斜邊上的中線等知識點，解此題的關鍵是進行分類討論，此題綜合性強，難度較大．