Question

【題目】如圖1，A村和B村在一條大河CD的同側(cè)，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和4千米，又知道CD的長(zhǎng)為4千米．

（1）現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來(lái)水．有兩種方案?jìng)溥x

方案1：水廠建在C點(diǎn)，修自來(lái)水管道到A村，再到B村（即AC+AB)．（如圖2）

方案2：作A點(diǎn)關(guān)于直線CD的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接A'B交CD于M點(diǎn)，水廠建在M點(diǎn)處，分別向兩村修管道AM和BM．（即AM+BM)(如圖3）

從節(jié)約建設(shè)資金方面考慮，將選擇管道總長(zhǎng)度較短的方案進(jìn)行施工，請(qǐng)利用已有條件分別進(jìn)行計(jì)算，判斷哪種方案更合適．

（2）有一艘快艇Q從這條河中駛過(guò)，當(dāng)快艇Q在CD中間，DQ為多少時(shí)?△ABQ為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）方案1更合適；（2）當(dāng)DQ=3或時(shí)，△ABQ為等腰三角形．

【解析】

（（1）分別求出兩種路線的長(zhǎng)度，比較即可；

（2）如圖，①AQ1=AB=5或AQ4=AB=5時(shí)，②AB=BQ2=5或AB=BQ5=5時(shí)，③當(dāng)AQ3=BQ3時(shí)，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解：（1）方案1：

過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，

∵BD=4，AC=1，

∴BE=3，

∴AB=，

∴ AC+AB=1+5=6；

方案2：

過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥BD于點(diǎn)H，則BH=4+1=5，

∴A′B=，

∵6<，

∴方案1路線短，更合適；

（2）如圖，G為CD中點(diǎn)，

①AQ1=AB=5或AQ4=AB=5時(shí)，

CQ1=CQ4==2，

∴QG=2+2（舍去）或2-2（舍去）；

②AB=BQ2=5或AB=BQ5=5時(shí)，

DQ==3，

∴QG=3-2=1或3+2=5（舍去），

③當(dāng)AQ3=BQ3時(shí)，

（GQ3+2）2+12=（2-GQ3）2+42，

解得：GQ3=，

DQ=2-=．

故當(dāng)DQ=3或時(shí)，△ABQ為等腰三角形．