Question

如圖，點O是線段AB上的一點，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于點D，OF平分∠COB，CF⊥OF于點F．
（1）求證：四邊形CDOF是矩形；
（2）當∠AOC多少度時，四邊形CDOF是正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用角平分線的性質、平角的定義可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性質可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根據(jù)已知條件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；則三個角都是直角的四邊形是矩形；
（2）當∠AOC=90°時，四邊形CDOF是正方形；因為直角△AOC的斜邊上的中線OD等于斜邊的一半，所以矩形的鄰邊OD=CD，所以矩形CDOF是正方形．
解答：（1）證明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴2∠COD+2∠COF=180°，
∴∠COD+∠COF=90°，
∴∠DOF=90°；
∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知），
∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性質），
∴∠CDO=90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO=90°
∴四邊形CDOF是矩形；

（2）當∠AOC=90°時，四邊形CDOF是正方形；
理由如下：∵∠AOC=90°，AD=DC，
∴OD=DC；
又由（1）知四邊形CDOF是矩形，則
四邊形CDOF是正方形；
因此，當∠AOC=90°時，四邊形CDOF是正方形．
點評：本題考查了矩形的判定與性質、正方形的判定．判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，方法有兩種：
①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；
②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角．