Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，有一個(gè)小正方形EFGH，其中頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，F(xiàn)D上.

（1）求證：△EBF∽△FCD；

（2）連接DH，如果BC=12，BF=3，求tan∠HDG的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)試題解析；（2）．

【解析】

試題（1）由正方形的性質(zhì)得到∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG．由∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，得到 ∠EFB =∠FDC．故△EBF∽△FCD；

（2）在Rt△CDF中，由勾股定理得到DF的長(zhǎng)，由△EBF∽△FCD，得到 BE的長(zhǎng)，再由勾股定理得到GH=的長(zhǎng)，由于DG=DF－FG=，故可得到 tan∠HDG的值．

試題解析：（1）證明：∵ 正方形ABCD，正方形EFGH，∴∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，BC=CD，GH=EF=FG．又∵ 點(diǎn)F在BC上，點(diǎn)G在FD上，∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，∴∠EFB =∠FDC．∴△EBF∽△FCD；

（2）解：∵BF=3，BC=CD=12，∴CF=9，DF=，由（1）得，∴BE=，∴GH=FG=EF=，DG=DF－FG=，∴tan∠HDG=．