Question

5．小明在研究由矩形紙片折疊等邊三角形之后，經(jīng)過探究，他用圓形紙片也折疊出了等邊三角形，以下是他的折疊過程：第一步：將圓形紙片沿直徑AM對折，然后打開；第二步：將紙片沿折痕BC翻折使點(diǎn)M落在圓心I處，然后打開，連接AB、AC．

（1）在圖③中BC與IM的位置關(guān)系是互相垂直平分；
（2）小明折疊出的△ABC是等邊三角形嗎？請你說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用折疊的性質(zhì)易得IM垂直平分BC，BC垂直平分IM，即BC和IM互相垂直平分；
（2）連結(jié)IB、BM、MC，如圖，由BC和IM互相垂直平分可判斷四邊形BMCI為菱形，易得△IBM和△TMC為等邊三角形，則∠BIM=∠CIM=60°，然后根據(jù)圓周角定理得到∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BIC=60°，加上AB=AC，于是可判斷△ABC為等邊三角形．

解答 解：（1）∵圓形紙片沿直徑AM對折，
∴IM垂直平分BC，
∵紙片沿折痕BC翻折使點(diǎn)M落在圓心I處，
∴BC垂直平分IM，
即BC和IM互相垂直平分；
故答案為互相垂直平分；
（2）△ABC為等邊三角形．理由如下：
連結(jié)IB、BM、MC，如圖，
∵BC和IM互相垂直平分，
∴四邊形BMCI為菱形，
∴IB=BM=MC=IC，
∴IB=BM=MC=IC=IM，
∴△IBM和△TMC為等邊三角形，
∴∠BIM=∠CIM=60°，
∴∠BAC=$\frac{1}{2}$∠BIC=60°，
而AM垂直平分BC，
∴AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評 本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．也考查了等邊三角形的判定．