Question

已知：如圖1所示，直線x+y=9與x軸、y軸相交于C、D兩點(diǎn)，直線2x+3y+12=0與x軸、y軸相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)（4，0）是x軸上一點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)的直線l垂直于x軸，N是直線l上一點(diǎn)（N點(diǎn)與C點(diǎn)不重合），連接AN．
（1）求A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若P是AN的中點(diǎn)，PF=5，猜想∠APF的度數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）如圖2所示，連接NF，求△AFN外接圓面積的最小值，并求△AFN外接圓面積的最小時(shí)，圓心G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立方程組可求得A（-6，0），D（0，9）；
（2）根據(jù)題意可知∠FPA=90°，取AC的中點(diǎn)Q，則PQ是△CAN的中位線．通過(guò)證明在△AFP和△PFQ中

PF

AF

=

QF

PF

，∠QFP=∠PFA，可證△AFP∽△PFQ，即∠APF=∠PQF=90度；
（3）作線段AF的垂直平分線MH，交AF于點(diǎn)H，則圓心G在MH上，設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，m），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，n），則△AFN的外接圓的半徑為GN，求△AFN的外接圓面積的最小值，即求線段CN長(zhǎng)度的最小值，據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義和矩形的性質(zhì)以及勾股定理可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-1，5

3

）或（-1，-5

3

）．

解答：解：（1）求得A（-6，0），D（0，9）；

（2）∠FPA=90°．
取AC的中點(diǎn)Q，則PQ是△CAN的中位線．
∵NC⊥x軸，
∴PQ⊥X軸，∠AQP=90°，
∴AQ=

1

2

AC=7.5，
∴QF=AF-AQ=10-7.5=2.5，
∴

PF

AF

=

5

10

=

1

2

，

QF

PF

=

2.5

5

=

1

2

，
∴

PF

AF

=

QF

PF

，
在△AFP和△PFQ中

PF

AF

=

QF

PF

，∠QFP=∠PFA，
∴△AFP∽△PFQ，
∴∠APF=∠PQF=90°，

（3）作線段AF的垂直平分線MH，交AF于點(diǎn)H，則圓心G在MH上，且點(diǎn)H的橫坐標(biāo)為-1，
設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，m），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（9，n），則△AFN的外接圓的半徑為GN，
求△AFN的外接圓面積的最小值，即求線段CN長(zhǎng)度的最小值，
根據(jù)點(diǎn)到直線距離的定義知：當(dāng)GN⊥CN時(shí)，GN的長(zhǎng)度最短，
此時(shí)四邊形GHCN為矩形，GN=HC=FG=10，
在Rt△GHF中，HF=5，
由勾股定理得：GH²=FG²-HF²，
∴m²=75，
m=±5

3

，
此時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-1，5

3

）或（-1，-5

3

）．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了函數(shù)和幾何圖形的綜合運(yùn)用．解題的關(guān)鍵是會(huì)靈活的運(yùn)用函數(shù)圖象上點(diǎn)的意義和相似三角形的性質(zhì)，勾股定理等來(lái)表示相應(yīng)的線段之間的關(guān)系，再結(jié)合具體圖形的性質(zhì)求解．試題中貫穿了方程思想和數(shù)形結(jié)合的思想，請(qǐng)注意體會(huì)．