【題目】如圖,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點, A點在原點的左側(cè),B點的坐標為(3,0),與y軸交于點C0,-3),點P是直線BC下方的拋物線上一動點.1)求這個二次函數(shù)的表達式

2)連結(jié)PO、PC,并把POC沿CO翻折,得到四邊形POP’C, 那么是否存在點P,使四邊形POP’C為菱形?若存在,請求出此時點P的坐標;若不存在,請說明理由.

3)當點P運動到什么位置時,四邊形 ABPC的面積最大,并求出此時P點的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

【答案】(1)(2)存在點P,使得四邊形POPC為菱形,P點坐標為(,(3)P點的坐標為,四邊形ABPC的面積最大為

【解析】

試題分析:(1)將B、C的坐標代入拋物線的解析式中即可求得待定系數(shù)的值;

(2)由于菱形的對角線互相垂直平分,若四邊形POPC為菱形,那么P點必在OC的垂直平分線上,據(jù)此可求出P點的縱坐標,代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標;

(3)由于ABC的面積為定值,當四邊形ABPC的面積最大時,BPC的面積最大;過P作y軸的平行線,交直線BC于Q,交x軸于F,易求得直線BC的解析式,可設(shè)出P點的橫坐標,然后根據(jù)拋物線和直線BC的解析式求出Q、P的縱坐標,即可得到PQ的長,以PQ為底,B點橫坐標的絕對值為高即可求得BPC的面積,由此可得到關(guān)于四邊形ACPB的面積與P點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出四邊形ABPC的最大面積及對應(yīng)的P點坐標

試題解析:(1)將B,C兩點的坐標代入

得到

解得:

二次函數(shù)的表達式為:

(2)存在點P,使得四邊形POPC為菱形。

設(shè)P點坐標為(x,),PP交CO于點D

四邊形POPC為菱形

OD=DC,PPOC

C點為(0,-3)

D點為(0,

=

解得:(不合題意,舍去)

P點坐標為(,

(3)過點P作x軸的垂線與OB交于點E, 與BC交于點F,

二次函數(shù)

點A為(-1,0)

設(shè)Px),

易得直線BC的解析式為

則F點的坐標為(xx3.

=

時,四邊形ABPC的面積最大

此時P點的坐標為,四邊形ABPC的面積最大為

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