Question

【題目】從三角形一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線.

（1）如圖1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，當∠BCD=40°時，證明：CD為△ABC的完美分割線.

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以AC為底邊的等腰三角形，求∠ACB的度數(shù).

（3）如圖2，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割線，△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求CD的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠ACB=96°；（3）CD的長為-1.

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求出∠ACB=80°，進而可得∠ACD=40°，即可證明AD=CD，由∠BCD=∠A=40°，∠B為公共角可證明三角形BCD∽△BAC，即可得結(jié)論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACD=∠A=48°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠BCD=∠A=48°，進而可得∠ACB的度數(shù)；

（3）由相似三角形的性質(zhì)可得∠BCD=∠A，由AC=BC=2可得∠A=∠B，即可證明∠BCD=∠B，可得BD=CD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程求出CD的長即可.

（1）∵∠A=40°，∠B=60°，

∴∠ACB=180°-40°-60°=80°，

∵∠BCD=40°，

∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=40°，

∴∠ACD=∠A，

∴AD=CD，即△ACD是等腰三角形，

∵∠BCD=∠A=40°，∠B為公共角，

∴△BCD∽△BAC，

∴CD為△ABC的完美分割線.

（2）∵△ACD是以AC為底邊的等腰三角形，

∴AD=CD，

∴∠ACD=∠A=48°，

∵CD是△ABC的完美分割線，

∴△BCD∽△BAC，

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.

（3）∵△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，

∴AD=AC=2，

∵CD是△ABC的完美分割線，

∴△BCD∽△BAC，

∴∠BCD=∠A，，

∵AC=BC=2，

∴∠A=∠B，

∴∠BCD=∠B，

∴BD=CD，

∴，即，

解得：CD=-1或CD=--1（舍去），

∴CD的長為-1.