Question

鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又余下一個四邊形，稱為第二次操作；……依次類推，若第n次操作余下的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形，如圖1，平行四邊形中，若，則平行四邊形為1階準菱形。

（1）判斷與推理：
① 鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是__________階準菱形；
② 小明為了剪去一個菱形，進行如下操作：如圖2，把平行四邊形沿著折疊（點在上）使點落在邊上的點，得到四邊形，請證明四邊形是菱形。
（2）操作、探究與計算：
① 已知平行四邊形的鄰邊分別為1，裁剪線的示意圖，并在圖形下方寫出的值；
② 已知平行四邊形的鄰邊長分別為，滿足，請寫出平行四邊形是幾階準菱形。

Answer 1

（1）① 2②證明見解析（2）見解析

解：（1）① 2                   …………1分
解析：鄰邊長分別為2和3的平行四邊形減去邊長為2的菱形后剩余的是邊長為2和1的平行四邊形，再減去邊長為1的菱形后剩余的是邊長為1的菱形，所以是2階準菱形
② 證明：由折疊知：            ………………2分
∵四邊形是平行四邊形
∴
∴，∴
∴，∴                               ………………3分
∵，，∴四邊形是平行四邊形
∵，∴四邊形是菱形                     ………………4分
（2）①
              ………………9分
② 10階準菱形                                          ………………10分
解析：，則
則該平行四邊形可以視作邊長為的平行四邊形和邊長為的平行四邊形拼接在一起。由①可知邊長為的平行四邊形是4階準菱形，而邊長為的平行四邊形減去邊長為的菱形后剩余邊長為的平行四邊形，再減去邊長為的菱形后剩余邊長為的平行四邊形。邊長為的平行四邊形可以視作邊長為的平行四邊形和邊長為的菱形拼接在一起，而邊長為的平行四邊形是4階準菱形。所以該平行四邊形是4+1+1+4=10階準菱形。