Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，且AB＝AC．延長CD至點E，使CE＝BD，連接AE．

（1）求證：AD平分∠BDE；

（2）若AB//CD，求證：AE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質和圓內接四邊形的性質得到∠ADE＝∠ADB，根據角平分線的定義即可得到結論；

（2）根據平行線的性質得到∠ADE＝∠DAB，求得∠BAD＝∠ADB，根據垂徑定理得到AT⊥BC，根據平行四邊形的性質得到AE//BC，于是得到結論．

（1）證明：連接AD，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠ADE＝∠ABC，

∵∠ADB＝∠ACB，

∴∠ADE＝∠ADB，

∴AD平分∠BDE；

（2）解：連接AO并延長交BC于點F，

∵AB//CD，

∴∠ADE＝∠DAB，

∵∠ADE＝∠ABC＝∠ACB，

∴∠ADB＝∠ACB，

∴∠BAD＝∠ADB，

∴AB＝BD，

∵BD＝CE，

∴AB＝CE，

∵AC＝AB，

∴

∴AF⊥BC，

∵AB//CE，AB＝CE，

∴四邊形ABCE是平行四邊形，

∴AE//BC，

∴AF⊥AE，

∴AE是⊙O的切線．