【題目】在△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,點(diǎn)E在線段AD上.
(1)若∠BAC=∠BED=2∠CED=α,
①若α=90°,AB=AC,過C作CF⊥AD于點(diǎn)F,求的值;
②若BD=3CD,求的值;
(2)AD為△ABC的角平分線,AE=ED=2,AC=5,tan∠BED=2,直接寫出BE的長度.
【答案】(1)①2;②;(2)
【解析】
(1)①由題意先判定△ABC與△CEF都是等腰直角三角形,再判定△ABE≌△CAF(AAS),則可由全等三角形的性質(zhì)及中線的定義可得答案;②過點(diǎn)C作CF∥BE,交AD的延長線于點(diǎn)F,在AD上取一點(diǎn)G,使得CG=CF,由兩組角對應(yīng)相等判定△ABE∽△CAG,再由CF∥BE判定△BED∽△CFD,由相似三角形的性質(zhì)得兩個比例等式,設(shè)CF=x,BE=3x,AE=y,則CG=EG=x,代入比例式化簡計(jì)算可得答案.
(2)過點(diǎn)C作CF∥AD,交BA的延長線于F,延長BE交CF與G,利用等腰三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行推理,結(jié)合tan∠BED=2,得出AG的長;利用勾股數(shù)得出FG與CG的長;由DE∥CG得出比例式,計(jì)算可求得BE的長.
解:(1)①∵∠BAC=∠BED=2∠CED=α,
∴當(dāng)α=90°,AB=AC時,△ABC與△CEF都是等腰直角三角形,
∴∠BAE+∠FAC=90°,∠ACF+∠FAC=90°,
∴∠BAE=∠AFC,
∴在△ABE與△CAF中,
∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AE=CF=EF,
∴BE=AF=2EF=2CF,
∴=2;
②如圖,過點(diǎn)C作CF∥BE,交AD的延長線于點(diǎn)F,在AD上取一點(diǎn)G,使得CG=CF,
∵∠BAC=∠BED=2∠CED=α,
∴∠ABE=∠CAG,∠F=∠BED=α=∠CGF,
∴∠AEB=∠AGC,
∴△ABE∽△CAG,
∴=.
∵CF∥BE,
∴△BED∽△CFD,
∴==3.
設(shè)CF=x,BE=3x,AE=y,則CG=EG=x,
∴=.
解得:=,
∴=;
(2)如圖,過點(diǎn)C作CF∥AD,交BA的延長線于F,延長BE交CF與G,
則∠BAD=∠F,∠DAC=∠ACF,
又∵AD為△ABC的角平分線,即∠BAD=∠DAC,
∴∠ACF=∠F,
∴AF=AC=5,
又AE=ED,
∴FG=CG,
∴AG⊥CF,
∴∠CAG=∠FAG,
∴AD⊥AG,
∵tan∠BED=2,
∴tan∠AEG=2,
∵AE=ED=2,
∴=2,
∴AG=2AE=4,
又∵AC=5,
∴FG=CG=3,
∵DE∥CG,
∴=,
∴=,
解得BE=4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,在邊長為10的菱形ABCD中,cos∠B=,點(diǎn)E為BC邊上的中點(diǎn),點(diǎn)F為邊AB邊上一點(diǎn),連接EF,過點(diǎn)B作EF的對稱點(diǎn)B′,
(1)在圖(1)中,用無刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)B′(不寫作法,保留痕跡);
(2)當(dāng)△EFB′為等腰三角形時,求折痕EF的長度.
(3)當(dāng)B′落在AD邊的中垂線上時,求BF的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)是以為直徑的上一點(diǎn),過點(diǎn)作的切線交延長線于點(diǎn),取中點(diǎn),連接并延長交延長線于點(diǎn).
(1)試判斷與的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若,,求.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖平面直角坐標(biāo)系中放置Rt△PEF,∠E=90°,EP=EF,△PEF繞點(diǎn)P(﹣1,﹣3)轉(zhuǎn)動,PE、PF所在直線分別交y軸,x軸正半軸于點(diǎn)B(0,b),A(a,0),作矩形AOBC,雙曲線y=(k>0)經(jīng)過C點(diǎn),當(dāng)a,b均為正整數(shù)時,k=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB 是⊙O的直徑,∠DAB的角平分線AC交⊙O于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD⊥AD于D,AB的延長線與DC的延長線相交于點(diǎn)P,∠ACB的角平分線CE交AB于點(diǎn)F、交⊙O于E.
(1)求證:PC與⊙O相切;
(2)求證:PC=PF;
(3)若AC=8,tan∠ABC=,求線段BE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為測量一座山峰CF的高度,將此山的某側(cè)山坡劃分為AB和BC兩段,每一段山坡近似是“直”的,測得坡長AB=800米,BC=200米,坡角∠BAF=30°,∠CBE=45°.
(1)求AB段山坡的高度EF;
(2)求山峰的高度CF.(1.414,CF結(jié)果精確到米)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一段長為1000m的筆直道路AB上,甲、乙兩名運(yùn)動員分別從A,B兩地出發(fā)進(jìn)行往返跑訓(xùn)練.已知甲比乙先出發(fā)30秒鐘,甲距A點(diǎn)的距離y/m與其出發(fā)的時間x/分鐘的函數(shù)圖象如圖所示.乙的速度是200m/分鐘,當(dāng)乙到達(dá)A點(diǎn)后立即按原速返回B點(diǎn).當(dāng)兩人第二次相遇時,乙跑的總路程是_____m.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線過x軸上兩點(diǎn)A(9,0),C(﹣3,0),且與y軸交于點(diǎn)B(0,﹣12).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若M為線段AB上一個動點(diǎn),過點(diǎn)M作MN平行于y軸交拋物線于點(diǎn)N.
①是否存在這樣的點(diǎn)M,使得四邊形OMNB恰為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
②當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動到何處時,四邊形CBNA的面積最大?求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形CBNA面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,過點(diǎn)D作AC的平行線DE,交BA的延長線于點(diǎn)E.
求證:
(1)△ABC≌△DCB;
(2)DE·DC=AE·BD.
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