Question

已知拋物線C₁：y=（x+1）²-4的頂點為P，與x軸的交點為A、B（A左B右），將拋物線C₁關于x軸作軸對稱變換，再將變換后的拋物線沿y軸的正方向、x軸的正方向都平移．m個單位（m＞l），得到拋物線C₂，拋物線C₂的頂點為Q．

（1）求m=3時，拋物線C₂的解析式；
（2）根據下列條件分別求m：
①如圖1，若PQ正好被y軸平分，求m的值；
②如圖2，若PQ經過坐標原點，求m的值．
（3）如圖3，若拋物線C₂的頂點Q關于直線PA的對稱點Q′恰好落在x軸上，試求m的值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線C₁：y=（x+1）²-4的頂點為P，將拋物線C₁關于x軸作軸對稱變換，

∴對稱圖象解析式為：y=-（x+1）²+4，

∵再將變換后的拋物線沿y軸的正方向、x軸的正方向都平移．m個單位（m＞l），得到拋物線C₂，m=3，

∴拋物線C₂的解析式為：y=-（x-2）²+7；



（2）①∵Q（m-1，m+4），P（-1，-4），PQ被y軸平分，

∴x_Q+x_P=0，

∴m-1=1，
解得：m=2；

②過點P，Q分別作y軸的垂線，垂足分別為：E，F，

∵∠QFO=∠PEO，∠FOQ=∠POE，
∴△OPE∽△OFQ，

∴==4，

∴OF=4FQ，

∴m+4=4（m-1），
解得：m=；



（3）由P（-1，-4），A（-3，0）設直線PA的解析式為y=ax+b，

，

解得：，

∴直線PA的解析式為：y=-2x-6，

∴直線PA與y軸交點為：（0，-6）．
設Q關于PA的對稱點為Q′，

則∠QQ′O=∠AMO，

∴tan∠QQ′O=tan∠AMO===，

過Q作QH⊥x軸于H，

則OH=m-1，QH=m+4，Q′H=2m+8，AH=3+（m-1）=m+2，

∴AQ′=2m+8-（m+2）=m+6，

∴AQ=AQ′=m+6，

在Rt△QAH中，AQ²=AH²+QH²，

∴（m+6）²=（m+2）²+（m+4）²，
解得：m₁=-4（舍去），m₂=4．
分析：（1）根據關于x軸對稱的拋物線的解析式a，b，c符號相反，進而根據將變換后的拋物線沿y軸的正方向、x軸的正方向都平移3個單位，求出答案即可；
（2）①根據Q（m-1，m+4），P（-1，-4），PQ被y軸平分，得出x_Q+x_P=0，進而求出即可；
②首先得出△OPE∽△OFQ，進而得出==4，求出即可；
（3）首先求出直線PA的解析式，利用對稱性得出tan∠QQ′O=tan∠AMO===，再利用AQ²=AH²+QH²，求出m的值即可．
點評：此題主要考查了二次函數的應用以及勾股定理和銳角三角函數關系以及相似三角形的判定與性質等知識，熟練掌握對稱的性質是解題關鍵．