Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)P為AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線PE，切點(diǎn)為M，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作PE的垂線AC、BD，垂足分別為C、D，連接AM，則下列結(jié)論正確的是___________.(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào))

①AM平分∠CAB；

②AM2＝ACAB；

③若AB＝4，∠APE＝30°，則的長(zhǎng)為；

④若AC＝3，BD＝1，則有CM＝DM＝.

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

連接OM，由切線的性質(zhì)可得OM⊥PC，繼而得OM∥AC，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及等邊對(duì)等角即可求得∠CAM＝∠OAM，由此可判斷①；通過(guò)證明△ACM∽△AMB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可判斷②；求出∠MOP＝60°，利用弧長(zhǎng)公式求得的長(zhǎng)可判斷③；由BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，可得BD∥AC//OM，繼而可得PB=OB=AO，PD=DM=CM，進(jìn)而有OM=2BD＝2，在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2，利用勾股定理求出PD的長(zhǎng)，可得CM＝DM＝DP＝，由此可判斷④.

連接OM，

∵PE為⊙O的切線，

∴OM⊥PC，

∵AC⊥PC，

∴OM∥AC，

∴∠CAM＝∠AMO，

∵OA＝OM，

∠OAM＝∠AMO，

∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正確；

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AMB＝90°，

∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，

∴△ACM∽△AMB，

∴，

∴AM2＝ACAB，故②正確；

∵∠APE＝30°，

∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，

∵AB＝4，

∴OB＝2，

∴的長(zhǎng)為，故③錯(cuò)誤；

∵BD⊥PC，AC⊥PC，OM⊥PC，

∴BD∥AC//OM，

∴△PBD∽△PAC，

∴，

∴PB＝PA，

又∵AO=BO，AO+BO=AB，AB+PB=PA，

∴PB=OB=AO，

又∵BD∥AC//OM，

∴PD=DM=CM，

∴OM=2BD＝2，

在Rt△PBD中，PB=BO=OM=2

∴PD==，

∴CM＝DM＝DP＝，故④正確，

故答案為：①②④.