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13.如圖,在矩形ABCD中,AE⊥BD于E,AC與BD相交于O點(diǎn),DE=3BE.
(1)求∠1的度數(shù);
(2)若AD=12cm,求AE、AB的長.

分析 (1)由矩形的性質(zhì)得出OB=OD=12BD,OA=OC=12AC,AC=BD,證出OA=OB,易證得△OAB是等邊三角形,繼而求得∠1的度數(shù);
(2)由△OAB是等邊三角形,易求得∠ADE=30°,又由AD=12cm,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)求得AE的長,由三角函數(shù)求出AB的長即可.

解答 解:(1)∵四邊形ABCD是矩形,
∴OB=OD=12BD,OA=OC=12AC,AC=BD,
∴OA=OB,
∵DE=3BE,
∴BE=OE,
∵AE⊥BD,
∴AB=OA,
∴OA=AB=OB,
即△OAB是等邊三角形,
∴∠BAO=60°,
∴∠1=12∠BAO=30°;
(2)∵△OAB是等邊三角形,
∴∠ABD=60°,
∴∠ADE=90°-∠ABD=30°,
∵AE⊥BD,AD=12cm,
∴AE=12AD=6cm,AB=AD•tan30°=12×33=43(cm).

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù).此題難度不大,證明△AOB是等邊三角形是解決問題的關(guān)鍵.

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