Question

如圖，AB、ED是⊙O的直徑，點(diǎn)C在ED延長線上，且∠CBD=∠FAB．點(diǎn)F在⊙O上，且AB⊥DF．連接AD并延長交BC于點(diǎn)G．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求證：BD•BC=BE•CD；
（3）若⊙O 的半徑為r，BC=3r，求tan∠CDG的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證BC是⊙O的切線，只需證明BC⊥AB即可；
（2）根據(jù)相似三角形（△BDC∽△EBC）的對(duì)應(yīng)邊成比例知=，即BD•BC=BE•CD；
（3）根據(jù)題意，推出OC和CD的長度，然后通過求證△DCG∽△BCD，即可推出DG：BD的值，即∠DBG的正切值，由∠DBG=∠CDG，即可推出∠CDG的正切值．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥DF，
∴=，
∴∠FAB=∠DAB；
又∵∠CBD=∠FAB，
又∵∠ADB=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角），
∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切線；

（2）證明：由（1）知，∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD（同弧所對(duì)的圓周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC．
∴=，
∴BD•BC=BE•CD；

（3）解：∵⊙O 的半徑為r，BC=3r，
∴AB=2r，
∴=；
又由（1）知，BC⊥AB，
∴OC==r，
∴CD=（-1）r；
∵AO=DO（⊙O的半徑），
∴∠OAD=∠ODA（等邊對(duì)等角）；
∵∠CBD=∠BAD，∠ADO=∠CDG（對(duì)頂角相等），
∴∠CDG=∠DBG，
∴△DCG∽△BCD，
∴===
∵tan∠DBG==，
∴tan∠CDG=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于：（1）熟練運(yùn)用圓周角定理，切線的性質(zhì)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論和已知條件推出△EBC∽△BDC；（3）關(guān)鍵在于通過求證△DCG∽△BCD，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出tan∠DBG的值．