Question

【題目】如圖，在正方形中，是上的點，且，是的中點.

（1）與是否相似？為什么？

（2）與的關系是什么？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）相似，理由見解析；（2）且⊥，理由見解析

【解析】

（1）在所要求證的兩個三角形中，已知的等量條件為：∠D=∠C=90°，若證明兩三角形相似，可證兩個三角形的對應直角邊成比例；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．根據相似三角形的對應邊成比例即可求得AQ與PQ的數量關系；根據相似三角形的對應角相等即可證得AQ與PQ的位置關系．

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=CD=BC，∠C=∠D=90°；

又∵Q是CD中點，

∴CQ=DQ=AD；

∵BP=3PC，

∴CP=BC=AD，

∴，

又∵∠C=∠D=90°，

∴△ADQ∽△QCP；

（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：

由（1）知，△ADQ∽△QCP，，

則，

∴AQ=2PQ；

∵△ADQ∽△QCP，

∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，

∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，

∴AQ⊥QP．

故與的關系是：且⊥.