【題目】(10分)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE是BC邊上的高,將ABE沿BC方向平移,使點(diǎn)E與點(diǎn)C重合,得GFC

(1)求證:BE=DG;

(2)若B=60°,當(dāng)BC= AB時(shí),四邊形ABFG是菱形;

(3)若B=60°,當(dāng)BC= AB時(shí),四邊形AECG是正方形

【答案】(1)證明見(jiàn)試題解析;(2);(3)

【解析】

試題分析:此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì),正方形的判定,菱形的判定,以及直角三角形的性質(zhì)關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定定理,以及平行四邊形的性質(zhì)(1)根據(jù)平移的性質(zhì),可得:BE=FC,再證明RtABERtCDG可得:DG=FC;即可得到BE=DG;要使四邊形ABFG是菱形,須使AB=BF;根據(jù)條件找到滿足AB=BF時(shí),BC與AB的數(shù)量關(guān)系即可;(3)當(dāng)四邊形AECG是正方形時(shí),AE=EC,由AE=AB,可得EC=AB,再有BE=AB可得BC=AB

試題解析:(1)證明:四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,AB=CDAE是BC邊上的高,且CG是由AE沿BC方向平移而成,CGADAE=CG∴∠AEB=CGD=90°在RtABE與RtCDG中,,

RtABERtCDG(HL),BE=DG

當(dāng)BC=AB時(shí),四邊形ABFG是菱形證明:ABGF,AGBF,四邊形ABFG是平行四邊形RtABE中,B=60°,∴∠BAE=30°,BE=AB(直角三角形中30°所對(duì)直角邊等于斜邊的一半),BE=CF,BC=AB,EF=ABAB=BF四邊形ABFG是菱形

(3)解:BC=AB時(shí),四邊形AECG是正方形AEBC,GCCB,AEGC,AEC=90°AGCE,四邊形AECG是矩形,當(dāng)AE=EC時(shí),矩形AECG是正方形,∵∠B=60°EC=AE=ABsin60°=AB,BE=AB,BC=AB

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(2)在x軸上找一點(diǎn)P,使有一動(dòng)點(diǎn)能在最短的時(shí)間內(nèi)從點(diǎn)A出發(fā),沿著A-P-C的 運(yùn)動(dòng)到達(dá)C點(diǎn),并且在AP上以每秒2個(gè)單位的速度移動(dòng),在PC上以每秒個(gè)單位移動(dòng),試用尺規(guī)作圖找到P點(diǎn)的位置(不寫作法,保留作圖痕跡),并求出所用的最短時(shí)間t.

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