Question

11．大慶素有百湖之城的美稱，如圖所示．在臨湖高出水面50米的塔AB頂層A處望見一艘飛艇停留在平靜的湖面上空某處．觀察到艇底部醒目標(biāo)志陽目志P處的仰角為45°，又觀察到其在湖中的影像的俯角為60°，試求飛艇距湖面的高度h（結(jié)果可用含根號的式子表示）．

Answer 1

分析 設(shè)AC=x，則PC=AC=x，根據(jù)山頂A處高出水面50m，得出DC=50，DP′=x+50，根據(jù)∠P′AC=60°，得出P′C=$\sqrt{3}$x，DP′=$\sqrt{3}$x-50，從而列出方程，求出x的值，即可求得飛艇距湖面的高度h．

解答 解：點P在湖中的影像為P′，如右圖所示，
設(shè)AC=xm，
在Rt△ACP中∠PAC=45°，則∠P=45°，
所以PC=AC=x，
∵山頂A處高出水面50m，
∴DC=50，
∴DP′=DP=PC+DC=x+50，
∵∠P′AC=60°，
∴P′C=tan60°•AC=$\sqrt{3}$x，
∴DP′=P′C-DC=$\sqrt{3}$x-50，
∴x+50=$\sqrt{3}$x-50，
x=50（$\sqrt{3}$+1），
∴h=PD=50$\sqrt{3}$+100，
答：飛艇離湖面的高度是（50$\sqrt{3}$+100）m．

點評 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是能借助俯角、仰角構(gòu)造直角三角形并根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想利用三角函數(shù)解直角三角形．