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2.圖(1)是我們常見(jiàn)的“箭頭圖”,其中隱藏著哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢?下面請(qǐng)你解決以下問(wèn)題:

(1)觀察如圖(1)“箭頭圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間大小的關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論,回答下列兩個(gè)問(wèn)題:
①如圖(2),把一塊三角板XYZ放置在△ABC上,使其兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C.若∠A=50°,則∠ABX+∠ACX=40°;
②如圖(3),∠ABD,∠ACD的五等分線分別相交于點(diǎn)G1、G2、G3、G4,若∠BDC=135°,∠BG1C=67°,求∠A的度數(shù).

分析 (1)連接AD并延長(zhǎng),根據(jù)三角形的外角和內(nèi)角關(guān)系解答;
(2)①利用(1)的結(jié)論,直接計(jì)算出∠ABX+∠ACX的度數(shù);
②圖(3)利用(1)的結(jié)論,根據(jù)∠BDC=135°,∠BG1C=67°,計(jì)算出相等的角:∠DBG4+∠DCG4的和,再次利用(1)的結(jié)論,求出∠A的度數(shù).

解答 解:(1)∠BDC=∠A+∠B+∠C.理由:
連接AD并延長(zhǎng)到M.
因?yàn)椤螧DM=∠BAD+∠B,∠CDM=∠CAD+∠C,
所以∠BDM+∠CDM=∠BAD+∠B+∠CAD+∠C,
即∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
(2)①由(1)知:∠BXC=∠A+∠ABX+∠ACX,
由于∠BXC=90°,∠A=50°
所以∠ABX+∠ACX
=∠BXC-∠A
=90°-50°
=40°.
在箭頭圖G1BDC中
因?yàn)椤螧DC=∠G1+∠G1BD+∠G1CD,
又∵∠BDC=135°,∠BG1C=67°
∵∠ABD,∠ACD的五等分線分別相交于點(diǎn)G1、G2、G3、G4
∴4(∠DBG4+∠DCG4)=135°-67°
∴∠DBG4+∠DCG4=17°.
∴∠ABG1+∠ACG1=17°
∵在箭頭圖G1BAC中
∵∠BG1C=∠A+∠G1BA+∠G1CA,
又∵∠BG1C=67°,
∴∠A=50°.
答:∠A的度數(shù)是50°.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了外角和內(nèi)角的關(guān)系以及角的計(jì)算.找出“箭頭圖”并利用“箭頭圖”間角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵

練習(xí)冊(cè)系列答案
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