Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（1，0），直線y=x+m與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在y軸上．

（1）求m的值及這個二次函數(shù)的關(guān)系式；

（2）P為線段AB上的一個動點（點P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于點E，設(shè)線段PE的長為h，點P的橫坐標為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使得四邊形DCEP是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

　

Answer 1

【考點】二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有

【專題】壓軸題．

【分析】（1）因為直線y=x+m過點A，將A點坐標直接代入解析式即可求得m的值；設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，將（3，4）代入即可；

（2）由于P和E的橫坐標相同，將P點橫坐標代入直線和拋物線解析式，可得其縱坐標表達式，h即為二者之差；根據(jù)P、E在二者之間，所以可知x的取值范圍是0＜x＜3；

（3）先假設(shè)存在點P，根據(jù)四邊形DCEP是平行四形的條件進行推理，若能求出P點坐標，則證明存在點P，否則P點不存在．

【解答】解：（1）∵點A（3，4）在直線y=x+m上，

∴4=3+m．

∴m=1．

設(shè)所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x﹣1）²．

∵點A（3，4）在二次函數(shù)y=a（x﹣1）²的圖象上，

∴4=a（3﹣1）²，

∴a=1．

∴所求二次函數(shù)的關(guān)系式為y=（x﹣1）²．

即y=x²﹣2x+1．

（2）設(shè)P、E兩點的縱坐標分別為y_P和y_E．

∴PE=h=y_P﹣y_E

=（x+1）﹣（x²﹣2x+1）

=﹣x²+3x．

即h=﹣x²+3x（0＜x＜3）．

（3）存在．

解法1：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有PE=DC．

∵點D在直線y=x+1上，

∴點D的坐標為（1，2），

∴﹣x²+3x=2．

即x²﹣3x+2=0．

解之，得x₁=2，x₂=1（不合題意，舍去）

∴當P點的坐標為（2，3）時，四邊形DCEP是平行四邊形．

解法2：要使四邊形DCEP是平行四邊形，必需有BP∥CE．

設(shè)直線CE的函數(shù)關(guān)系式為y=x+b．

∵直線CE經(jīng)過點C（1，0），

∴0=1+b，

∴b=﹣1．

∴直線CE的函數(shù)關(guān)系式為y=x﹣1．

∴

得x²﹣3x+2=0．

解之，得x₁=2，x₂=1（不合題意，舍去）

∴當P點的坐標為（2，3）時，四邊形DCEP是平行四邊形．

【點評】此題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象上點的坐標特征，結(jié)合圖形有利于解答；

（3）是一道存在性問題，有一定的開放性，需要先假設(shè)點P存在，然后進行驗證計算．