Question

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，⊙O過(guò)B、C兩點(diǎn)，⊙O的半徑為，連接AO，則tan∠BAO=    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由于⊙O的圓心在正方形ABC的內(nèi)部與外部不能確定，故應(yīng)分兩種情況討論：
①當(dāng)⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時(shí)，連接OB，過(guò)O作OG⊥AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，由垂徑定理可知OF是BC的垂直平分線，再根據(jù)勾股定理求出OF的長(zhǎng)，由相似三角形的判定定理得出Rt△OEF∽R(shí)t△OAG，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出EF的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出tan∠BAO的值；
②當(dāng)⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時(shí)，連接OB，過(guò)O作OF⊥BC，OE⊥AB，E、F為垂足，由垂徑定理可知OF垂直平分BC，進(jìn)而可得出BF的長(zhǎng)，由勾股定理可求出OF的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)的定義即可得出tan∠BAO的值．
解答：解：①當(dāng)⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時(shí)，如圖1所示：
連接OB，過(guò)O作OG⊥AD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)F，
∵AD∥BC，OG⊥BC，
∴OF是BC的垂直平分線，
∵BC=6，
∴BF=AG=3，
∵OB=，
∴OF===1，
在Rt△OEF與Rt△OAG中，
∵BC∥AD，
∴Rt△OEF∽R(shí)t△OAG，
∴=，即=，解得EF=，
∵BC⊥AB，
∴tan∠BAO===；
②當(dāng)⊙O的圓心在正方形ABCD的外部時(shí)，如圖2所示：
連接OB，過(guò)O作OF⊥BC，OE⊥AB，E、F為垂足，由垂徑定理可知OF垂直平分BC，
∵BC=6，
∴BF=BC=×6=3，
∵四邊形OEBF的四個(gè)角均為直角，
∴OE=BF=3，OF=BE，
在Rt△OBF中，OF===1，
∴BE=1，AE=AB-BE=6-1=5，
∴tan∠BAO==．
故答案為：或．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理、正方形的性質(zhì)、勾股定理及銳角三角函數(shù)的定義，解答此題時(shí)要注意分類討論，不要漏解．