Question

附加題：如圖，已如在△ABC中，AC=14，BC=6

2

，∠ACB=45°，點(diǎn)O在AC上移動，⊙O始終和AB相切；切點(diǎn)為D，⊙O與AC交于E、F兩點(diǎn)（點(diǎn)F可在AC的延長線上）．
（1）設(shè)⊙O的半徑為r，在滿足題意的點(diǎn)O中，是否存在某一位置，使得⊙O與AB、BF都相切？若不存在，請說明理由；若存在，求出此時r的長．
（2）設(shè)四邊形BDOC的面積為S，求S與r的函數(shù)關(guān)系式及r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在Rt△BFC中利用銳角三角函數(shù)的定義可得出BF的長，在Rt△AFB中利用勾股定理可求出AB的長，再根據(jù)Rt△ADO∽Rt△AFB即可求出r的值；
（2）過點(diǎn)B作BF⊥AC于F′，可求出△ABC的面積，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出s的值，進(jìn)而可得出r的取值范圍．

解答：解：（1）答：存在某一位置，使⊙O與AB、BF都相切，此時，BF⊥AC，BD=BF，如圖．
在Rt△BFC中．BC=6

2

．
∠C=45°，
∴BF=BC•sin45°=6，
∴CF=BF=6，
∴AF=AC-CF=8，
∵在Rt△AFB中，AB²=AF²+BF²，
AB=10，
Rt△ADO∽Rt△AFB，
r=OD=3；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BF⊥AC于F′，
∴BF′=6，
S_△ABC=42．
∵Rt△ADO∽Rt△AF′B．
∴AD=

4r

3

，
∴S_△ADO=

2r2

3

，
則s=42-

2r2

3

同理，只要四邊形BDOC存在，S=42-

2r2

3

總成立．
當(dāng)點(diǎn)D與B重合時（F在AC的延長線上），r=

15

2

，但此時，四邊形BDOC已不存在，
r的取值范圍為0＜r＜

15

2

．

點(diǎn)評：本題考查的是切線的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟知以上知識是解答此題的關(guān)鍵．