Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為2x，滿足這樣條件的點(diǎn)稱(chēng)為“關(guān)系點(diǎn)”.

(1)在點(diǎn)A(1,2)、B(2,1)、M(，1)、N(1， )中，是“關(guān)系點(diǎn)”的為 ；

(2)⊙O的半徑為1，若在⊙O上存在“關(guān)系點(diǎn)”P(pán)，求點(diǎn)P坐標(biāo)；

(3)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)，若在⊙C上有且只有一個(gè)“關(guān)系點(diǎn)”P(pán)，且“關(guān)系點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo)滿足-2≤x≤2.請(qǐng)直接寫(xiě)出⊙C的半徑r的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）A、M；（2）或；（3）或.

【解析】試題分析：

（1）由“關(guān)系點(diǎn)”的定義可知，關(guān)系點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)的2倍，由此可知四個(gè)點(diǎn)中A點(diǎn)和M點(diǎn)是“關(guān)系點(diǎn)”；

（2）由題意按要求作半徑為1的⊙O，如圖1，在⊙O上取點(diǎn)P，根據(jù)關(guān)系點(diǎn)的定義設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，2x），過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，在Rt△OPG中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）“關(guān)系點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo)滿足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一個(gè)“關(guān)系點(diǎn)”P(pán)，故結(jié)合圖2分以下兩種情況討論可得本題答案：①當(dāng)⊙C和直線相切于點(diǎn)P1時(shí)，⊙C上有且只有一個(gè)“關(guān)系點(diǎn)”；②設(shè)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-2，-4），連接CP2，CP3，當(dāng)CP2<r<CP3時(shí)，⊙C上有且只有一個(gè)“關(guān)系點(diǎn)”；綜合①②即可得到本題答案.

試題解析：

（1）由“關(guān)系點(diǎn)”的定義可知，“關(guān)系點(diǎn)”的縱坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)的2倍，由此可知四個(gè)點(diǎn)中點(diǎn)A、M是“關(guān)系點(diǎn)”；.

（2）由題意按要求作半徑為1的⊙O，如圖1，在⊙O上取點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，由題意可設(shè)P（x，2x），

∵在Rt△OPG中，OG2+PG2=OP2 ，

∴x2+4x2=1，

∴5x2=1，

∴x2=，

∴x=，

∴P或P；

（3）由“關(guān)系點(diǎn)”的定義可知，所有的關(guān)系點(diǎn)都在直線上；

∵“關(guān)系點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo)滿足-2≤x≤2，且⊙C上有且只有一個(gè)“關(guān)系點(diǎn)”P(pán)，

∴①當(dāng)⊙C和直線相切于點(diǎn)P1時(shí)，⊙C上有且只有一個(gè)“關(guān)系點(diǎn)”；②設(shè)點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-2，-4），連接CP2，CP3，當(dāng)CP2<r<CP3時(shí)，⊙C上有且只有一個(gè)“關(guān)系點(diǎn)”；

①如圖2，當(dāng)⊙C和直線相切于點(diǎn)P1時(shí)，此時(shí)⊙C上有且只有一個(gè)“關(guān)系點(diǎn)”，

過(guò)點(diǎn)P1作P1D⊥x軸于點(diǎn)D，則OD=x，P1D=2x，OP1= ，

∴sin∠P1OD=，

∴此時(shí)⊙C的半徑=OC×sin∠P1OD=；

②如圖2，當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)P2的坐標(biāo)為（2，4），連接CP2，在Rt△CEP2中，由勾股定理可得CP2=；

當(dāng)x=-2時(shí)，點(diǎn)P3的坐標(biāo)為（-2，-4），連接CP3，在Rt△CFP3中，由勾股定理可得CP3=；

∴當(dāng)時(shí)，在的范圍內(nèi)，⊙C與直線只有一個(gè)交點(diǎn).

綜上所述，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)，若在⊙C上有且只有一個(gè)“關(guān)系點(diǎn)”P(pán)，且“關(guān)系點(diǎn)”P(pán)的橫坐標(biāo)滿足-2≤x≤2時(shí)，⊙C的半徑的取值為： 或.