Question

已知AB是⊙O的直徑，AB＝4，點C在線段AB的延長線上運動，點D在⊙O 上運動（不與點B重合），連接CD，且CD＝OA.

(1)當OC＝時（如圖），求證：CD是⊙O的切線；

（2）當OC＞時，CD所在直線與⊙O相交，設(shè)另一交點為E，連接AE.，當D為CE中點時，

求△ACE的周長;

Answer 1

解：（1）證明：連接OD，如答圖①所示．

由題意可知，CD=OD=OA=AB=2，OC=，

∴OD²+CD²=OC²

由勾股定理的逆定理可知，△OCD為直角三角形，則OD⊥CD，

又∵點D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：如答圖②所示，連接OE，OD，則有CD=DE=OD=OE，

∴△ODE為等邊三角形，∠1=∠2=∠3=60°；

∵OD=CD，∴∠4=∠5，

∵∠3=∠4+∠5，∴∠4=∠5=30°，

∴∠EOC=∠2+∠4=90°，

因此△EOC是含30度角的直角三角形，△AOE是等腰直角三角形．

在Rt△EOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30°=，

在等腰直角三角形AOE中，AE=OA=，

∴△ACE的周長為：

AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=+4+（2+）=6++．