Question

如圖，直線y=x+b（b≠0）交坐標軸于A、B兩點，點D在直線上，D的橫縱坐標之積為2，過D作兩坐標軸的垂線DC、DE，連接OD．

（1）求證：AD平分∠CDE；

（2）對任意的實數b（b≠0），求證：AD•BD為定值；

（3）是否存在直線AB，使得四邊形OBCD為平行四邊形？若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，y=x-1.

【解析】

試題分析：（1）由于DE⊥y軸，DC⊥x軸，不難得出∠EDC=90°，因此要證AD平分∠CDE，需證得∠ADC或∠ADE為45°，根據直線AB的解析式可得出A（-b，0），B（0，b），因此OA=OB，即三角形OAB是等腰直角三角形，即可證得∠ADC=∠ABO=45°，由此可得證；

（2）在（1）中已經證得三角形ADC是等腰三角形，同理可得出三角形BDE也是等腰三角形，因此AD= CD，BD=DE，那么AD•BD=2CD•DE，而CD和DE的長，正好是反比例函數圖象上D點的橫坐標與縱坐標，由此可得出AD•BD是個定值；

（3）如果四邊形OBCD是平行四邊形，需要滿足的條件是OB=CD，OA=AC，可根據這個條件設B、D的坐標，然后將D點坐標代入反比例函數的解析式中，即可求出D點坐標，也就得出了B點的坐標，然后用待定系數法即可求得直線的解析式．

試題解析：（1）證明：由y=x+b得A（-b，0），B（0，b）．

∴∠DAC=∠OAB=45°

又∵DC⊥x軸，DE⊥y軸

∴∠ACD=∠CDE=90°

∴∠ADC=45°

即AD平分∠CDE．

（2）證明：∵∠ACD=90°，∠ADC=45°，

∴△ACD是等腰直角三角形，

同理可得，△BDE是等腰直角三角形，

∴AD=CD，BD=DE．

∴AD•BD=2CD•DE=2×2=4為定值．

（3）【解析】
存在直線AB，使得OBCD為平行四邊形．

若OBCD為平行四邊形，則AO=AC，OB=CD．

由（1）知AO=BO，AC=CD，

設OB=a（a＞0），

∴B（0，-a），D（2a，a），

∵D的橫縱坐標之積為2，

∴點D在雙曲線y=上，

∴2a•a=2，

∴a1=-1（舍去），a2=1，

∴B（0，-1）．

又∵B在y=x+b上，

∴b=-1．

即存在直線：y=x-1，使得四邊形OBCD為平行四邊形．

考點：1.一次函數綜合題；2.等腰直角三角形；3.平行四邊形的判定與性質．