Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A（1，1），且與直線y=x﹣2交于B，C兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求證：△ABC是直角三角形；
（3）若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），

∴設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+1，

又拋物線過(guò)原點(diǎn)，

∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+1，

即y=﹣x2+2x，

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得 ，解得 或 ，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）

證明：如圖，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，

則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，

∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）

解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)N（x，0），則M（x，﹣x2+2x），

∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，

由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB= ，BC=3 ，

∵M(jìn)N⊥x軸于點(diǎn)N

∴∠ABC=∠MNO=90°，

∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時(shí)有 = 或 = ，

①當(dāng) = 時(shí)，則有 = ，即|x||﹣x+2|= |x|，

∵當(dāng)x=0時(shí)M、O、N不能構(gòu)成三角形，

∴x≠0，

∴|﹣x+2|= ，即﹣x+2=± ，解得x= 或x= ，

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0）或（ ，0）；

②當(dāng) = 時(shí)，則有 = ，即|x||﹣x+2|=3|x|，

∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，

此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）或（5，0），

綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ ，0）或（ ，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

【解析】（1）可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，結(jié)合A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結(jié)論；（3）設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長(zhǎng)度，當(dāng)△MON和△ABC相似時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)可得 = 或 = ，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)．