(2011•鄂爾多斯)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,△MDB的一邊DB在AB上,邊MD與AC交于點(diǎn)N,以BD為直徑的⊙O與邊AC恰相切于點(diǎn)N,與MB交于點(diǎn)E.
(1)求證:∠AND=
1
2
∠MBD;
(2)若BC=6,AD=4,求
DN
的長.(結(jié)果保留π)
分析:(1)連接ON,BN,利用圓的切線性質(zhì)和圓周角定理證明∠AND=∠NBA,∠MNC=∠MBN,又因?yàn)椤螦ND=∠MNC,所以:∠AND=
1
2
∠MBD;
(2)由已知條件可證明ON∥BM,所以△ANO∽△ACB,利用相似三角形的性質(zhì)可求出圓的半徑,再利用弧長公式即可求出弧DN的長.
解答:(1)證明:連接ON,BN,
∵AC是圓的切線,
∴AN⊥ON,
∴∠AND+∠DNO=90°,
∵BD為⊙O直徑,
∴∠DNB=90°,
∴∠NBD+∠NDB=90°,
∵OD=ON,
∴∠DNO=∠NDO,
∴∠NDB=∠NBD,
∵∠MNC+∠CNB=90°,∠CBN+∠CNB=90°
∴∠MNC=∠CBN,
∵∠AND=∠MNC,
∴∠AND=
1
2
∠MBD;

(2)解:設(shè)圓的半徑為r,
∵∠ANO=90°,∠ACB=90°,
∴NO∥BC,
∴△ANO∽△ACB,
AO
AB
=
ON
BC

4+r
4+2r
=
r
6
,
∴r=4,
∴AO=8,
∴NO=
1
2
AO,
∴∠A=30°,
∴∠AON=60°,
∴弧DN的長度為:
60×π×4
180
=
3
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的切線性質(zhì),弧長公式以及相似三角形的判定定理和性質(zhì)的運(yùn)用,有一定的綜合性.
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