Question

已知直線y=2x+2與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點M（1，a）．
（1）求k的值；
（2）點N（b，1）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上的點，在x軸上是否存在點P，使得PM+PN最小？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用圖象上點的坐標(biāo)性質(zhì)得出M點坐標(biāo)，進(jìn)而求出k的值；
（2）利用軸對稱求最短路徑方法得出P點位置，進(jìn)而得出P點坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線y=2x+2與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點M（1，a），
∴a=2×1+2=4，
故M（1，4），
則k=1×4=4；

（2）∵點N（b，1）是反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上的點，
∴b=4，
則N（4，1），
如圖所示：作M（1，4）點關(guān)于x軸對稱點M′（1，-4），連接M′N，
設(shè)直線M′N解析式為：y=ax+b，
故將（1，-4）和（4，1）代入得：

a+b=-4 4a+b=1

，
解得：

a= 5 3 b=- 17 3

，
故直線M′N解析式為：y=

5

3

x-

17

3

，
當(dāng)y=0時，0=

5

3

x-

17

3

，
解得：x=

17

5

，
故P點坐標(biāo)為：（

17

5

，0），
則在x軸上存在點P（

17

5

，0），使得PM+PN最�。�

點評：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，得出P點位置，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．