Question

【題目】如圖，△ABC與△DCE有公共頂點(diǎn)C，AB=CD，BC=CE，∠ABC=∠DCE=90°.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上時(shí).

①求證：△ABC≌△DCE.

②判斷AC與DE的位置關(guān)系，并說明理由.

（2）如圖2，△CDE從（1）中位置開始繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D落在BC邊上時(shí)停止.

①若∠A=60°，記旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為，當(dāng)為何值時(shí)，DE與△ABC一邊平行.

②如圖3，若AB=c， BC=a， AC=b， a>c，邊BC，DE交于點(diǎn)F，求整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，F在BC上的運(yùn)動(dòng)路程（用含a， b， c的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②AC⊥DE，理由見解析；（2）①60°或90°或150°

②

【解析】

（1）①由邊角邊可證全等；

②延長(zhǎng)AC與DE交于M，由△ABC≌△DCE得∠ACB=∠E，利用等角的余角相等可證結(jié)論.

（2）①根據(jù)題意，作出符合條件的三種情況，易得旋轉(zhuǎn)角度.

②根據(jù)題意，作出F的最終位置，即可得出運(yùn)動(dòng)路徑.

（1）①證明：在△ABC和△DCE中，

∴△ABC≌△DCE（SAS）

AC⊥DE，理由如下：

如圖所示，延長(zhǎng)AC與DE交于M，

∵△ABC≌△DCE

∴∠ACB=∠E，

又∵∠ACB=∠DCM，∠E+∠D=90°

∴∠DCM+∠D=90°，

∴∠CMD=90°

即AC⊥DE.

（2）由題意可得，∠D=∠A=60°，∠E=∠ACB=30°，

（i）當(dāng)DE∥BC時(shí)，如下圖所示，

∵DE∥BC，

∴∠BCE=∠E=30°，

所以旋轉(zhuǎn)角度=90°-30°=60°

（ii）當(dāng)DE∥AC時(shí)，如下圖所示，此時(shí)BC和CE重合，

由圖可知，=∠BCD=90°

（iii）當(dāng)DE∥AB時(shí)，如下圖所示，

∵DE∥AB，AB⊥BC

∴DE⊥BC，

∴∠BCE=90°-30°=60°

∴=90°+∠BCE=150°

綜上，為60°或90°或150°.

②由題意可得，F點(diǎn)從B點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到圖1中點(diǎn)所示位置，然后再繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，返回到圖2中F點(diǎn)重合，

B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程為:

圖1 圖2