已知關(guān)于x的方程kx2+(3k+1)x+3=0.
(1)求證:無論k取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根;
(2)若二次函數(shù)y=kx2+(3k+1)x+3的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù),且k為正整數(shù),求k值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)拋物線的頂點為M,直線y=-2x+9與y軸交于點C,與直線OM交于點D.現(xiàn)將拋物線平移,保持頂點在直線OD上.若平移的拋物線與射線CD(含端點C)只有一個公共點,求它的頂點橫坐標的值或取值范圍.
(1)證明:①當k=0時,方程為x+3=0,所以x=-3,方程有實數(shù)根,
②當k≠0時,△=(3k+1)2-4k•3,
=9k2+6k+1-12k,
=9k2-6k+1,
=(3k-1)2≥0,
所以,方程有實數(shù)根,
綜上所述,無論k取任何實數(shù)時,方程總有實數(shù)根;

(2)令y=0,則kx2+(3k+1)x+3=0,
解關(guān)于x的一元二次方程,得x1=-3,x2=-
1
k

∵二次函數(shù)的圖象與x軸兩個交點的橫坐標均為整數(shù),且k為正整數(shù),
∴k=1;

(3)由(2)得拋物線的解析式為y=x2+4x+3,
配方得y=(x+2)2-1,
∴拋物線的頂點M(-2,-1),
∴直線OD的解析式為y=
1
2
x,
于是設(shè)平移后的拋物線的頂點坐標為(h,
1
2
h),
∴平移后的拋物線解析式為y=(x-h)2+
1
2
h,
①當拋物線經(jīng)過點C時,令x=0,則y=9,
∴C(0,9),
∴h2+
1
2
h=9,
解得h=
-1±
145
4

∴當
-1-
145
4
≤h<
-1+
145
4
時,平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點;
②當拋物線與直線CD只有一個公共點時,
由方程組
y=(x-h)2+
1
2
h
y=-2x+9

消掉y得,x2+(-2h+2)x+h2+
1
2
h-9=0,
∴△=(-2h+2)2-4(h2+
1
2
h-9)=0,
解得h=4,
此時拋物線y=(x-4)2+2與射線CD唯一的公共點為(3,3),符合題意,
綜上所述:平移后的拋物線與射線CD只有一個公共點時,頂點橫坐標的值或取值范圍是h=4或
-1-
145
4
≤h<
-1+
145
4
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a<0)交x軸于點A(-1,0)、B(3,0),交y軸于點C.
(1)求拋物線的頂點M的坐標;(用a的代數(shù)式表示)
(2)直線y=x+d經(jīng)過C、M兩點,并且與x軸交于點D.
①求拋物線的函數(shù)表達式;
②若四邊形CDAN是平行四邊形,且點N在拋物線上,則點N的坐標為(______,______);
③設(shè)點P是拋物線對稱軸上一動點,請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點P,使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點,并且與直線CD相切?如果存在,請求出點P的坐標;如果不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

(6)一輛寬6m的貨車要通過跨度為8m、拱高為4m的單行拋物線隧道(從正中通過),為了保證安全,車頂離隧道頂部至少要t.6m的距離,貨車的限高為多少?
(6)若將(6)中的單行道改為雙行道,即貨車必須從隧道中線的右側(cè)通過,貨車的限高應是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

如圖,平面直角坐標系中,點A、B、C在x軸上,點D、E在y軸上,OA=OD=2,OC=OE=4,B為線段OA的中點,直線AD與經(jīng)過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點,與其對稱軸交于M,點P為線段FG上一個動點(與F、G不重合),PQy軸與拋物線交于點Q.
(1)求經(jīng)過B、E、C三點的拋物線的解析式;
(2)判斷△BDC的形狀,并給出證明;當P在什么位置時,以P、O、C為頂點的三角形是等腰三角形,并求出此時點P的坐標;
(3)若拋物線的頂點為N,連接QN,探究四邊形PMNQ的形狀:①能否成為菱形;②能否成為等腰梯形?若能,請直接寫出點P的坐標;若不能,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

小明在一次高爾夫球的練習中,在某處擊球,其飛行路線滿足拋物線y=-
1
4
x2+2x,其中y(m)是球的飛行高度,x(m)是球飛出的水平距離,結(jié)果球離球洞的水平距離還有2m.
(1)求拋物線的頂點坐標;
(2)求出球飛行的最大水平距離;
(3)若小明第二次仍從此處擊球,使其最大高度不變,而球剛好進洞,則球飛行的路線滿足拋物線的解析式是什么?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

甲、乙兩人進行羽毛球比賽,甲發(fā)出一顆十分關(guān)鍵的球,出手點為P,羽毛球飛行的水平距離s(米)與其距地面高度h(米)之間的關(guān)系式為h=-
1
12
s2+
2
3
s+
3
2
.如圖,已知球網(wǎng)AB距原點5米,乙(用線段CD表示)扣球的最大高度為
9
4
米,設(shè)乙的起跳點C的橫坐標為m,若乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而導致接球失敗,則m的取值范圍是(  )
A.5<m<9B.5<m<4+
7
C.4<m<8+
7
D.5<m<4-
7

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

已知:拋物線y=-x2+4x-3與x軸相交于A、B兩點(A點在B點的左側(cè)),頂點為P.
(1)求A、B、P三點坐標;
(2)在下面的直角坐標系內(nèi)畫出此拋物線的簡圖,并根據(jù)簡圖寫出當x取何值時,函數(shù)值y大于零;
(3)確定此拋物線與直線y=-2x+6公共點的個數(shù),并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

小敏在某次投籃中,球的運動路線是拋物線y=-
1
5
x2+3.5
的一部分(如圖),若命中籃圈中心,則他與籃底的距離l是______米.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

圖1至圖4的正方形霓虹燈廣告牌ABCD都是20×20的等距網(wǎng)格(每個小方格的邊長均為1個單位長),其對稱中心為點O.
如圖1,有一個邊長為6個單位長的正方形EFGH的對稱中心也是點O,它以每秒1個單位長的速度由起始位置向外擴大(即點O不動,正方形EFGH經(jīng)過一秒由6×6擴大為8×8;再經(jīng)過一秒,由8×8擴大為10×10;…),直到充滿正方形ABCD,再以同樣的速度逐步縮小到起始時的大小,然后一直不斷地以同樣速度再擴大、再縮。
另有一個邊長為6個單位長的正方形MNPQ從如圖1所示的位置開始,以每秒1個單位長的速度,沿正方形ABCD的內(nèi)側(cè)邊緣按A→B→C→D→A移動(即正方形MNPQ從點P與點A重合位置開始,先向左平移,當點Q與點B重合時,再向上平移,…).
正方形EFGH和正方形MNPQ從如圖1的位置同時開始運動,設(shè)運動時間為x秒,它們的重疊部分面積為y個平方單位.
(1)當正方形MNPQ第一次回到起始位置時,正方形EFGH是否也變化到起始位置?
(2)請你在圖2和圖3中分別畫出x為3秒、18秒時,正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重疊部分(重疊部分用陰影表示),并分別寫出重疊部分的面積;
(3)正方形EFGH第一次充滿正方形ABCD之前(即x≤7時),何時正方形EFGH和正方形MNPQ重疊部分的面積為3平方單位.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案