Question

【題目】已知，如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠BCA=30°，過點A、B、C三點作⊙O，過點C作⊙O的切線交BA延長線于點D，連接OA交BC于E．

（1）求證：OA∥CD；
（2）求證：△ABE∽△DCA；
（3）若OA=2，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)OC，如圖，

∵∠B=45°，

∴∠AOC=2∠B=90°，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，

∴∠OCD=90°，

∴OA∥CD

（2）證明：∵∠AOC=90°，OA=OC，

∴△AOC為等腰直角三角形，

∴∠OCA=45°，

∴∠ACD=45°，

∴∠B=∠ACD，

∵OA∥CD，

∴∠BAE=∠D，

∴△ABE∽△DCA

（3）解：作AH⊥BC于H，如圖，

∵△AOC為等腰直角三角形，

∴AC= OA=2 ，

在Rt△ACH中，∵∠ACH=30°，

∴AH= AC= ，CH= AH= ，

在Rt△ABH中，∵∠B=45°，

∴BH=AH= ，

∴BC=BH+CH= + ．

【解析】（1）連結(jié)OC，先利用圓周角定理得到∠AOC=2∠B=90°，再利用切線的性質(zhì)得∠OCD=90°，根據(jù)平行線的判定即可得到結(jié)論；（2）先判斷△AOC為等腰直角三角形得到∠OCA=45°，則∠ACD=45°=∠B，再利用平行線的性質(zhì)得∠BAE=∠D，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論；（3）作AH⊥BC于H，如圖，由△AOC為等腰直角三角形得到AC= OA=2 ，分別在Rt△ACH中和在Rt△ABH中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和等腰直角三角形的性質(zhì)計算出BH和CH，從而得到BC的長．
【考點精析】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．