Question

【題目】如圖,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A. 點(diǎn)B同時出發(fā),沿三角形的邊運(yùn)動，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s.當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時，M、N同時停止運(yùn)動.

(1)點(diǎn)M、N運(yùn)動_________秒后，△AMN是等邊三角形?

(2)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，運(yùn)動_______秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN?

(3)M、N同時運(yùn)動幾秒后，△AMN是直角三角形？請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）4；（2）16；（3）M、N同時運(yùn)動3，，15，18秒后，△AMN是直角三角形，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN三角形ANM就是等邊三角形；

（2）由△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設(shè)出運(yùn)動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數(shù)的值；

（3）分點(diǎn)N在AB，AC，BC上運(yùn)動的三種情況，再分別就∠AMN=90°和∠ANM=90°列方程求解可得．

解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖1，

AM=t，AN=12-2t，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等邊三角形，

∴∠A=60°，

當(dāng)AM=AN時，△AMN是等邊三角形
∴t=12-2t，
解得t=4，
∴點(diǎn)M、N運(yùn)動4秒后，△AMN是等邊三角形；

（2）設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，運(yùn)動t秒后得到以MN為底邊的等腰三角形△AMN，
由題意知12秒時M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，
如圖2，假設(shè)△AMN是等腰三角形，

∴AM=AN，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB是等邊三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC =∠ANB，∠C=∠B，AC=AB
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM=BN，
∴t-12=36-2t，
解得t=16，符合題意．
所以點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動時，運(yùn)動16秒后能得到以MN為底的等腰三角形；

（3）①當(dāng)點(diǎn)N在AB上運(yùn)動時，如圖3，

若∠AMN=90°，∵BN=2t，AM=t，
∴AN=12-2t，
∵∠A=60°，
∴2AM=AN，即2t=12-2t，
解得t=3；
如圖4，若∠ANM=90°，

由2AN=AM得2（12-2t）=t，
解得t=；
②當(dāng)點(diǎn)N在AC上運(yùn)動時，點(diǎn)M也在AC上，此時A，M，N不能構(gòu)成三角形；

③當(dāng)點(diǎn)N在BC上運(yùn)動時，如圖5，

當(dāng)點(diǎn)N位于BC中點(diǎn)處時，由△ABC時等邊三角形知AN⊥BC，即△AMN是直角三角形，
則2t-24=6，
解得t=15；
如圖6，

當(dāng)點(diǎn)M位于BC中點(diǎn)處時，由△ABC時等邊三角形知AM⊥BC，即△AMN是直角三角形，
則t-12=6

解得t=18；
綜上， M、N同時運(yùn)動3，，15，18秒后，△AMN是直角三角形；
故答案為：3，，15，18．